二维高斯分布概率密度

二维高斯分布，也称为二维正态分布，是一种连续随机变量的概率分布模型，它描述的是两个随机变量之间的联合概率分布，这两个随机变量通常表示为x和y。其概率密度函数（PDF）可以由下面的形式给出：

\[ f(x, y) = \frac{1}{2\pi\sigma_x\sigma_y\sqrt{1-\rho^2}} e^{-\frac{1}{2(1-\rho^2)} [(x - \mu_x)^2/\sigma_x^2 - 2\rho(x - \mu_x)(y - \mu_y)/(\sigma_x\sigma_y) + (y - \mu_y)^2/\sigma_y^2]} \]

其中：
- \( \mu_x \) 和 \( \mu_y \) 是均值向量，分别代表X轴和Y轴的期望值，
- \( \sigma_x \) 和 \( \sigma_y \) 是标准差，衡量了每个维度的方差大小，
- \( \rho \) 或者称为相关系数，范围在-1到1之间，表示X和Y之间的线性相关程度。

这个函数描绘了一个椭圆形的模式，如果\( \rho \)为0，则意味着两个变量独立；当\( \rho > 0 \)，图形呈现顺时针旋转的椭圆；当\( \rho < 0 \)，则呈逆时针旋转。

相关问题

二维高斯分布的概率密度

二维高斯分布，也被称为正态分布，是一种连续概率分布，常用于描述两个随机变量之间的联合分布。它的概率密度函数（PDF）可以表示为：

\[ f(x, y) = \frac{1}{2\pi\sigma_x\sigma_y\sqrt{1-\rho^2}} \exp\left(-\frac{1}{2(1-\rho^2)}\left[\left(\frac{x-\mu_x}{\sigma_x}\right)^2 - 2\rho\left(\frac{x-\mu_x}{\sigma_x}\right)\left(\frac{y-\mu_y}{\sigma_y}\right) + \left(\frac{y-\mu_y}{\sigma_y}\right)^2\right]\right) \]

其中：
- \( (x, y) \) 表示二维空间中的一个点，
- \( \mu_x \) 和 \( \mu_y \) 是均值，分别对应于x和y轴上的中心位置，
- \( \sigma_x \) 和 \( \sigma_y \) 是标准差，衡量数据的分散程度，
- \( \rho \) 或称相关系数，范围在-1到1之间，0表示独立，正值表示正相关，负值表示负相关。

这个函数描述了在围绕均值的椭圆区域内，数据出现的概率随距离中心点增加而减小。如果\( \rho = 0 \)，则分布变成了两个独立的一维高斯分布沿x和y轴的乘积。

二维高斯概率密度函数

二维高斯概率密度函数是多元高斯函数的一种特殊形式，用于描述两个随机变量的联合分布。根据引用中提到的多维变量 X = ( x 1 , x 2 )，其联合概率密度函数的形式可以表示为：

P(X) = 1 / (2πσ₁σ₂√(1-ρ²)) * exp[-(1/(2(1-ρ²))) * ((x₁-μ₁)²/σ₁² - 2ρ(x₁-μ₁)(x₂-μ₂)/(σ₁σ₂) + (x₂-μ₂)²/σ₂²)]

其中，μ₁和μ₂分别为两个随机变量的均值，σ₁和σ₂分别为两个随机变量的标准差，ρ是两个随机变量之间的相关系数。

这个二维高斯概率密度函数可以用来计算给定均值、标准差和相关系数的情况下，两个随机变量同时取不同取值时的概率密度。<span class="em">1</span><span class="em">2</span><span class="em">3</span>
#### 引用[.reference_title]
- *1* *3* [Gaussian function学习](https://blog.csdn.net/A_Student_OF_SHANDA/article/details/89977393)[target="_blank" data-report-click={"spm":"1018.2226.3001.9630","extra":{"utm_source":"vip_chatgpt_common_search_pc_result","utm_medium":"distribute.pc_search_result.none-task-cask-2~all~insert_cask~default-1-null.142^v93^chatsearchT3_2"}}] [.reference_item style="max-width: 50%"]
- *2* [二维高斯分布（Two-dimensional Gaussian distribution）](https://blog.csdn.net/weixin_45884316/article/details/107507392)[target="_blank" data-report-click={"spm":"1018.2226.3001.9630","extra":{"utm_source":"vip_chatgpt_common_search_pc_result","utm_medium":"distribute.pc_search_result.none-task-cask-2~all~insert_cask~default-1-null.142^v93^chatsearchT3_2"}}] [.reference_item style="max-width: 50%"]
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