探寻无向图平面图：揭开图论几何性质的奥秘

# 1. 无向图的几何性质

无向图是一种数学结构，由一系列称为顶点的点和连接这些顶点的边组成。无向图的几何性质研究图的几何表示和它们与图的拓扑性质之间的关系。

无向图的一个重要几何性质是平面性。平面图是一个可以在平面上绘制的图，而不会出现任何边交叉。平面图的判定是图论中一个基本问题，它可以利用欧拉公式来解决。欧拉公式指出，对于一个连通平面图，其顶点数 V、边数 E 和面数 F 之间的关系为 V - E + F = 2。

# 2. 平面图的定义和性质

### 2.1 平面图的定义和判定

**定义：**

平面图是一种无向图，可以绘制在平面上，使得任意两条边都不相交。

**判定：**

判断一个无向图是否为平面图，可以使用以下判定方法：

- **库拉托夫斯基定理：**如果一个无向图包含以下 5 种子图之一，则它不是平面图：

- K5（5 个顶点、10 条边的完全图）
- K3,3（两个 3 个顶点的完全图，通过 3 条边连接）
- K5 - e（5 个顶点、9 条边的完全图，移除一条边）
- Wagner 图（一个 5 个顶点的图，其中 4 个顶点形成一个环，第 5 个顶点与环上的 3 个顶点相连）
- Petersen 图（一个 10 个顶点的图，其中 5 个顶点形成一个五边形，另外 5 个顶点与五边形上的每个顶点相连）

- **欧拉公式：**如果一个无向图是平面图，则它满足欧拉公式：

  V - E + F = 2

其中：

- V 是顶点数
- E 是边数
- F 是面数

### 2.2 平面图的欧拉公式

**欧拉公式：**

对于一个连通的平面图，其顶点数、边数和面数满足以下关系：

V - E + F = 2

**证明：**

1. **数学归纳法：**

- **基例：**对于一个三角形，V = 3，E = 3，F = 1，满足欧拉公式。
- **归纳步骤：**假设对于具有 n 个顶点和 m 条边的平面图，欧拉公式成立。现在考虑一个具有 n+1 个顶点和 m+1 条边的平面图。添加一个新的顶点和一条边会创建一个新的面，因此 V 增加 1，E 增加 1，F 增加 1。因此，欧拉公式仍然成立：

   (n+1) - (m+1) + (F+1) = 2

2. **割定理：**

- 对于一个连通的平面图，如果移除一条边，则它将被分成两个连通分量。
- 根据欧拉公式，每个连通分量都满足欧拉公式。
- 因此，原始图的欧拉公式可以表示为两个连通分量的欧拉公式之和，加上 1（移除的边）。

### 2.3 平面图的连通度和环数

**连通度：**

平面图的连通度是指图中连通分量的数量。

**环数：**

平面图的环数是指图中独立环的数量。

**关系：**

平面图的连通度和环数之间存在以下关系：

环数 = 连通度 - 1

**证明：**

1. **连通图：**如果平面图是连通的，则它只有一个连通分量，因此环数为 0。
2. **非连通图：**如果平面图是非连通的，则它可以分解为多个连通分量。每个连通分量都是一个平面图，因此根据欧拉公式，其环数等于连通度 - 1。因此，整个图的环数等于连通分量数之和，即连通度 - 1。

# 3.1 平面图的构造方