直观呈现MATLAB回归分析结果：数据可视化的力量

# 1. 回归分析基础

回归分析是一种统计技术，用于建立一个预测变量（因变量）和一个或多个自变量（自变量）之间的关系模型。它广泛应用于各种领域，从预测销售额到分析客户行为。

**1.1 回归模型**

回归模型是一个数学方程，描述因变量和自变量之间的关系。最简单的回归模型是线性回归，它假定因变量和自变量之间存在线性关系。非线性回归模型用于描述更复杂的非线性关系。

**1.2 回归分析的步骤**

回归分析涉及以下步骤：

1. **数据收集：**收集因变量和自变量的数据。
2. **模型选择：**选择合适的回归模型类型（线性或非线性）。
3. **模型拟合：**使用数据估计模型参数。
4. **模型评估：**评估模型的拟合优度和预测能力。
5. **模型解释：**解释模型系数的含义并评估变量的重要性。

# 2. MATLAB中回归分析的理论与实践

### 2.1 线性回归模型

#### 2.1.1 回归方程的建立

线性回归模型是一种用于预测连续型因变量（响应变量）与一个或多个自变量（预测变量）之间线性关系的统计模型。其基本形式为：

y = β0 + β1x1 + β2x2 + ... + βnxn + ε

其中：

* y：因变量
* x1, x2, ..., xn：自变量
* β0：截距
* β1, β2, ..., βn：回归系数
* ε：误差项

MATLAB中使用`fitlm`函数建立线性回归模型。该函数接受因变量和自变量作为输入，并返回一个`LinearModel`对象，其中包含模型参数和统计信息。

% 数据准备
data = [ones(size(X, 1), 1), X]; % 添加截距项
y = Y;

% 建立线性回归模型
model = fitlm(data, y);

% 获取模型参数
intercept = model.Coefficients.Estimate(1);
coefficients = model.Coefficients.Estimate(2:end);

#### 2.1.2 模型评估指标

评估线性回归模型的拟合优度和预测能力，可以使用以下指标：

* **决定系数（R^2）**：衡量模型解释因变量变异的程度，取值范围为0到1，值越大表示模型拟合越好。
* **均方根误差（RMSE）**：衡量模型预测值与真实值之间的平均偏差，值越小表示模型预测能力越好。
* **平均绝对误差（MAE）**：衡量模型预测值与真实值之间的平均绝对偏差，与RMSE类似，但对异常值不敏感。
* **最大绝对误差（MAE）**：衡量模型预测值与真实值之间的最大绝对偏差，反映模型预测的最坏情况。

MATLAB中可以使用`rsquared`、`rmse`、`mae`和`maxabs`函数计算这些指标。

% 计算模型评估指标
r2 = rsquared(model);
rmse = rmse(model);
mae = mae(model);
maxabs = maxabs(model);

### 2.2 非线性回归模型

#### 2.2.1 模型选择与拟合

非线性回归模型用于拟合因变量与自变量之间非线性关系。常见的非线性模型包括：

* **多项式回归**：使用多项式函数拟合数据。
* **指数回归**：使用指数函数拟合数据。
* **对数回归**：使用对数函数拟合数据。
* **逻辑回归**：使用逻辑函数拟合数据，用于分类问题。

MATLAB中使用`fit`函数拟合非线性回归模型。该函数接受因变量、自变量和模型函数作为输入，并返回一个`fittype`对象，其中包含模型参数和统计信息。

% 数据准备
data = [ones(size(X, 1), 1), X]; % 添加截距项
y = Y;

% 定义多项式回归模型函数
modelfun = @(b, x) b(1) + b(2) * x + b(3) * x^2;

% 拟合多项式回归模型
model = fit(data, y, modelfun);

% 获取模型参数
coefficients = model.Coefficients.Estimate;

#### 2.2