最小公倍数在数据结构与算法中的应用

# 1. 了解最小公倍数

在数学中，最小公倍数是指能被两个或多个整数共同整除的最小的一个正整数。最小公倍数的计算方法通常是通过最大公约数来求解的，根据两个数的乘积等于其最大公约数与最小公倍数的乘积得出。最小公倍数在日常生活中经常应用，比如计算两个周期性事件同时发生的最小时间间隔。通过学习和理解最小公倍数的概念和计算方法，我们可以更好地解决实际问题，并在算法和数据结构中应用最小公倍数的相关知识，进一步提高程序效率和解决复杂计算问题。深入理解最小公倍数的原理和应用，对于数学和计算机科学领域的学习具有重要意义。

# 2. 最小公倍数的数学原理

#### 2.1 最大公约数与最小公倍数的关系
最大公约数（Greatest Common Divisor，GCD）是两个数最大的公约数，同时也是两个数的约数中的最大值，常表示为 $ \gcd(a, b) $。最小公倍数（Least Common Multiple，LCM）是两个数最小的公倍数，常表示为 $ \text{LCM}(a, b)$。有如下关系式：
\text{LCM}(a, b) = \frac{a \times b}{\gcd(a, b)}

#### 2.2 质数分解与最小公倍数的计算
对两个数进行质因数分解，分别找到各自的质因数与对应的指数，然后将两个数的质因数按照最大指数相乘的方式，即可得到它们的最小公倍数。例如，计算 $ \text{LCM}(12, 15)$：
12 = 2^2 \times 3^1, \quad 15 = 3^1 \times 5^1 \\
\text{LCM}(12, 15) = 2^2 \times 3^1 \times 5^1 = 60

#### 2.3 欧几里得算法在最小公倍数中的应用
欧几里得算法，又称辗转相除法，用于计算两个整数的最大公约数。通过欧几里得算法计算最大公约数后，再利用上述公式计算最小公倍数。算法步骤如下：
1. 令 $a, b$ 分别为两个输入的整数
2. 若 $b=0$，则 $a$ 即为最大公约数
3. 否则，$a$ 赋值为 $b$，$b$ 赋值为 $a \mod b$，重复第 2 步直至 $b=0$
4. 则此时 $a$ 即为最大公约数

def gcd(a, b):
    while b:
        a, b