利用快速幂算法优化最大公约数和最小公倍数的求解

# 1. 介绍

## 2.1 快速幂算法的概念

快速幂算法，又称快速幂运算，是一种用于快速计算幂的算法。通过将指数进行二进制拆分，快速幂算法显著减少了计算次数，提高了计算效率。在数论、密码学等领域广泛应用，特别在大数取模运算中效果显著。

## 2.2 计算最大公约数和最小公倍数的重要性

最大公约数（GCD）和最小公倍数（LCM）是数论中重要的概念，应用广泛。在数据加密、算法设计等领域必不可少。GCD和LCM在简化分数、计算比例、约分等场景中起着关键作用，同时也在编程实践中有着重要价值。

# 2. 最大公约数（GCD）的求解

### 2.1 暴力法求解GCD

暴力法是一种直接而简单的方法，即遍历所有可能的数值，将两个数的因数进行比较，找出它们的最大公约数。这种方法虽然容易理解和实现，但是在处理大数值时效率较低。下面是暴力法求解最大公约数的代码示例：

def gcd_brute_force(a, b):
    gcd = 1
    for i in range(1, min(a, b) + 1):
        if a % i == 0 and b % i == 0:
            gcd = i
    return gcd

a = 48
b = 18
result = gcd_brute_force(a, b)
print(f"The GCD of {a} and {b} is: {result}")

在以上代码中，我们定义了一个函数 `gcd_brute_force` 来实现暴力法求解最大公约数。接着选取两个数 `a = 48` 和 `b = 18` 进行计算，最终输出它们的最大公约数为 6。

### 2.2 辗转相除法优化GCD求解

辗转相除法，又称欧几里得算法，通过递归地计算两个数的余数，然后将两个数替换成原来的除数和余数，直到余数为 0，最后一个非零余数即为最大公约数。这种方法相较于暴力法更加高效。下面是辗转相除法优化求解最大公约数的代码示例：

def gcd_euclidean(a, b):
    while b:
        a, b = b, a % b
    return a

a = 48
b = 18
result = gcd_euclidean(a, b)
print(f"The GCD of {a} and {b} is: {result}")

通过辗转相除法，我们可以在较短的时间内得到最大公约数，代码中的例子中，最终计算得到的最大公约数仍是 6。

# 3. 最小公倍数（LCM）的