MATLAB FFT与其他变换：傅里叶变换与小波变换、希尔伯特变换的对比，拓展算法视野

# 1. MATLAB FFT 的基础和原理

快速傅里叶变换 (FFT) 是一种强大的算法，用于将时域信号转换为频域。在 MATLAB 中，FFT 函数可用于执行此变换，它广泛应用于信号处理、图像处理和科学计算中。

FFT 的原理基于离散傅里叶变换 (DFT)，它将一个离散时间信号分解为一系列复指数函数的加权和。DFT 的计算复杂度为 O(N^2)，其中 N 是信号长度。FFT 通过利用对称性和周期性等数学性质，将计算复杂度降低到 O(N log N)。

MATLAB 中的 FFT 函数提供了多种选项来控制变换的行为，包括窗口类型、零填充和采样率。通过适当选择这些参数，可以优化 FFT 的性能，以满足特定应用的需求。

# 2. MATLAB FFT 的进阶应用

### 2.1 FFT 在信号处理中的应用

#### 2.1.1 频谱分析

频谱分析是信号处理中一项重要的技术，用于分析信号的频率成分。FFT 可以通过计算信号的幅度谱和相位谱来实现频谱分析。

**代码块：**

% 载入信号数据
data = load('signal.mat');
signal = data.signal;

% 计算 FFT
fft_signal = fft(signal);

% 计算幅度谱和相位谱
amplitude_spectrum = abs(fft_signal);
phase_spectrum = angle(fft_signal);

% 绘制频谱图
figure;
subplot(2,1,1);
plot(amplitude_spectrum);
title('幅度谱');
xlabel('频率 (Hz)');
ylabel('幅度');

subplot(2,1,2);
plot(phase_spectrum);
title('相位谱');
xlabel('频率 (Hz)');
ylabel('相位 (弧度)');

**逻辑分析：**

* `fft()` 函数用于计算信号的 FFT。
* `abs()` 函数用于计算幅度谱，即 FFT 结果的绝对值。
* `angle()` 函数用于计算相位谱，即 FFT 结果的相位角。
* `figure` 函数用于创建新图形窗口。
* `subplot()` 函数用于创建子图。
* `plot()` 函数用于绘制幅度谱和相位谱。

#### 2.1.2 滤波

滤波是信号处理中另一种重要的技术，用于去除信号中的不需要的频率成分。FFT 可以通过选择性地去除或增强特定频率范围内的成分来实现滤波。

**代码块：**

% 载入信号数据
data = load('signal.mat');
signal = data.signal;

% 设计滤波器
filter_order = 10;
cutoff_frequency = 100;
filter_coefficients = fir1(filter_order, cutoff_frequency / (fs/2));

% 滤波信号
filtered_signal = filter(filter_coefficients, 1, signal);

% 绘制滤波前后的信号
figure;
plot(signal, 'b');
hold on;
plot(filtered_signal, 'r');
legend('原始信号', '滤波信号');
title('滤波前后信号对比');
xlabel('时间 (s)');
ylabel('幅度');

**逻辑分析：**

* `fir1()` 函数用于设计有限脉冲响应 (FIR) 滤波器。
* `filter()` 函数用于使用滤波器滤波信号。
* `figure` 函数用于创建新图形窗口。
* `plot()` 函数用于绘制原始信号和滤波信号。
* `legend()` 函数用于添加图例。

### 2.2 FFT 在图像处理中的应用

#### 2.2.1 图像增强

图像增强是图像处理中一项重要的技术，用于改善图像的视觉质量。FFT 可以通过调整图像的频率成分来实现图像增强。

**代码块：**

% 载入图像
image = imread('image.jpg');

% 转换为灰度图像
gray_image = rgb2gray(image);

% 计算 FFT
fft_image = fft2(gray_image);

% 调整频率成分
fft_image = fftshift(fft_image);
fft_image(1:floor(size(fft_image, 1) / 2), 1:floor(size(fft_image, 2) / 2)) = 0;
fft_image = ifftshift(fft_image);

% 计算逆 FFT
enhanced_image = ifft2(fft_image);

% 显示原始图像和增强图像
figure;
subplot(1,2,1);
i