MATLAB多变量时间序列分析：方法与技巧全解析

# 1. MATLAB多变量时间序列分析概述

在这一章节中，我们将简要介绍MATLAB在处理多变量时间序列分析方面的重要性以及为何选择MATLAB作为分析工具。MATLAB是一个强大的数学计算和可视化软件，它在工程、金融、生物医学等领域内有着广泛的应用，尤其在时间序列分析方面，MATLAB提供了丰富的工具箱，如 Econometrics Toolbox 和 System Identification Toolbox，这些工具箱为处理复杂的多变量时间序列模型提供了便捷。

接下来我们将讨论多变量时间序列分析的基础知识，包括时间序列的概念，以及为什么多变量时间序列分析相比单变量分析提供了更多关于数据之间关系和动态结构的见解。同时，本章将展示一些实际的应用场景，说明多变量时间序列分析在解决现实问题中的价值。通过对这些应用场景的介绍，读者可以对本章所涵盖的内容有一个全面的了解，并对后续章节中将深入探讨的复杂分析方法和技巧有初步的认识。

# 2. 时间序列数据预处理

### 2.1 数据清洗和标准化

#### 2.1.1 缺失值处理

在时间序列数据的分析过程中，遇到缺失值是一种非常常见的现象。缺失值可能是由于数据采集的中断、设备故障或其他不可抗力因素导致的。处理缺失值的方法有很多种，包括删除含有缺失值的记录、用均值或中位数填充、使用预测模型插值等。

在MATLAB中，可以使用`fillmissing`函数来处理缺失值。例如，如果希望使用线性插值的方式来填充缺失值，可以使用如下代码：

% 假设timeSeriesData是一个含有缺失值的时间序列变量
timeSeriesData = fillmissing(timeSeriesData, 'linear');

该函数会根据已知的观测值来估计并填充缺失的数据点。线性插值是在两个相邻的数据点之间插入一条直线，用以预测缺失值。

#### 2.1.2 异常值检测与修正

异常值是那些显著偏离其他观测值的点，它们可能是由数据录入错误、测量误差或真正的变异造成的。异常值的检测和处理对于保证时间序列数据的质量至关重要。

MATLAB提供了一些异常值检测的方法，例如箱线图法（Boxplot method）和Z分数法。以下是一个使用Z分数来识别和修正异常值的示例代码：

data = timeSeriesData; % 假设timeSeriesData为原始时间序列数据
threshold = 3; % 定义异常值的阈值
z_scores = (data - mean(data)) ./ std(data); % 计算Z分数
outliers = abs(z_scores) > threshold; % 识别超出阈值的点

% 修正异常值，这里简单地将异常值设置为该点前后两点的平均值
for i = find(outliers)
    data(i) = mean([data(i-1), data(i+1)]);
end

timeSeriesData = data; % 更新时间序列数据

#### 2.1.3 数据的归一化和标准化

归一化和标准化是将数据转换到一个标准的形式，使不同量纲或范围的数据能够进行公平比较。在时间序列分析中，归一化是将数据缩放到区间[0,1]的过程，而标准化则是将数据转换为均值为0，标准差为1的分布。

在MATLAB中，可以使用`rescale`函数进行归一化，使用`z-score`函数进行标准化，如下面的代码示例：

% 归一化
normalizedData = rescale(timeSeriesData);

% 标准化
standardizedData = z-score(timeSeriesData);

### 2.2 时间序列数据的探索性分析

#### 2.2.1 绘制时间序列图

通过绘制时间序列图，分析师可以直观地观察数据的变化趋势和周期性。在MATLAB中，可以使用`plot`函数来绘制时间序列数据，以识别潜在的趋势和季节性成分。

figure; % 创建一个新的图形窗口
plot(time, timeSeriesData); % 绘制时间序列图
xlabel('Time'); % X轴标签
ylabel('Value'); % Y轴标签
title('Time Series Plot'); % 图形标题

#### 2.2.2 基本统计特性分析

时间序列数据的统计特性分析包括计算均值、方差、偏度、峰度等统计量。这些统计量可以进一步揭示数据的特征，例如方差可以帮助识别数据的波动性，偏度和峰度则可以揭示数据的不对称性和尖峭程度。

meanValue = mean(timeSeriesData); % 计算均值
varianceValue = var(timeSeriesData); % 计算方差
skewnessValue = skewness(timeSeriesData); % 计算偏度
kurtosisValue = kurtosis(timeSeriesData); % 计算峰度

% 输出结果
fprintf('Mean: %.2f\n', meanValue);
fprintf('Variance: %.2f\n', varianceValue);
fprintf('Skewness: %.2f\n', skewnessValue);
fprintf('Kurtosis: %.2f\n', kurtosisValue);

#### 2.2.3 趋势、季节性分解

时间序列的分解是将其分解为趋势、季节性和随机成分的过程。MATLAB提供了`detrend`和`seasonaldecompose`函数来帮助完成这一任务。

% 趋势移除
detrendedData = detrend(timeSeriesData);

% 季节性分解
[seasonal, trend, residual] = seasonaldecompose(timeSeriesData, 'period', 12);

% 绘制趋势和季节性成分
figure;
subplot(3,1,1); plot(time, trend); title('Trend Component');
subplot(3,1,2); plot(time, seasonal); title('Seasonal Component');
subplot(3,1,3); plot(time, residual); title('Residual Component');

### 2.3 特征工程

#### 2.3.1 滞后变量的创建

滞后变量是时间序列分析中的一个重要特征。它通过将时间序列的当前值与过去某个时间点的值相关联，帮助捕捉时间序列数据的动态性质。

在MATLAB中，创建滞后变量可以使用`lagmatrix`函数：

% 假设timeSeriesData是一个Nx1的列向量，表示时间序列数据
% laggedData是一个NxK的矩阵，其中K为滞后阶数，N为数据点数量
laggedData = lagmatrix(timeSeriesData, 1:4); % 为1, 2, 3, 4期滞后创建滞后变量

% 查看滞后数据的前几个元素
head(laggedData, 10)

#### 2.3.2 差分和自相关性分析

差分是处理非平稳时间序列的一种常用技术。通过差分，可以移除时间序列中的趋势成分，使序列变得更加平稳。自相关性分析则是检验序列中的值是否与其之前或之后的值有相关性。

在MATLAB中，可以使用`diff`函数对时间序列进行差分：

% 差分操作
differencedData = diff(timeSeriesData, 1); % 一阶差分

对于自相关性分析，MATLAB提供了`autocorr`函数：

% 自相关性分析
[acf, lags, bounds] = autocorr(differencedData, 'NumLags', 20);

% 绘制自相关函数图
figure;
autocorrplot(acf, lags, bounds);

#### 2.3.3 多变量特征的选择

在多变量时间序列分析中，特征选择是一个复杂的问题，它涉及到选择哪些变量对预测目标变量最有帮助。特征选择可以通过多种方法实现，包括统计检验、模型依赖型方法以及基于机器学习的特征重要性评估。

在MATLAB中，可以使用`sequentialfs`函数来执行基于模型的特征选择。该函数通过选择对模型性能影响最大的特征来降低维度。

% 特征选择示例
X = laggedData; % 滞后变量作为特征矩阵
y = differencedData; % 目标变量

% 设定一个线性模型作为评估器
evaluator = @(Xtrain,ytrain,Xtest,ytest) ...
    sum((ytest - (Xtest * (Xtrain \ ytrain)).').^2);
[OptVars,OptScores] = sequentialfs(evaluator,X,y);

% 输出选择的特征和对应的分数
disp('Selected variables:');
disp(OptVars);
disp('Selection scores:');
disp(OptScores);

以上章节内容详细阐述了时间序列数据预处理的各个方面，从数据清洗到特征工程，确保分析和模型构建的准备工作做到位，为后续的建模和分析打下坚实的基础。

# 3. 多变量时间序列的建模方法

在多变量时间序列分析中，建模是将数据转化为可以预测未来行为模型的过程。选择正确的建模方法能够提高预测的准确性和可靠性。本章节将详细介绍三种常用的多变量时间序列建模方法：自回归模型（AR），向量自回归模型（VAR）以及协整与误差