概率分布采样：蒙特卡洛模拟在MATLAB中的强大工具

# 1. 概率分布采样概述

概率分布采样是通过随机生成样本数据来估计概率分布的参数或进行概率计算的一种方法。它在统计学、机器学习和金融建模等领域有着广泛的应用。

概率分布采样主要分为两类：

- **均匀采样：**从给定区间内均匀随机地生成样本数据。
- **非均匀采样：**根据给定的概率分布函数生成样本数据，使得样本数据的分布与给定概率分布相匹配。

# 2. 蒙特卡洛模拟的基本原理

### 2.1 随机数生成与概率分布

蒙特卡洛模拟的核心在于随机数生成，它依赖于伪随机数生成器 (PRNG) 来产生看似随机的数字序列。这些 PRNG 使用确定性算法，但通过巧妙的设计，它们能够产生序列，这些序列具有与真正随机序列相似的统计特性。

在蒙特卡洛模拟中，随机数用于模拟概率分布。概率分布描述了随机变量可能取值的概率。常见的概率分布包括：

- **均匀分布：**每个值在指定范围内出现的概率相等。
- **正态分布：**也称为钟形曲线，它描述了大多数值集中在平均值附近的分布。
- **指数分布：**它描述了事件发生的频率随着时间的推移而呈指数下降。
- **泊松分布：**它描述了在给定时间间隔内发生的事件数量。

### 2.2 蒙特卡洛积分的原理与方法

蒙特卡洛积分是蒙特卡洛模拟的一种特殊应用，用于估计积分。积分本质上是求曲线下面积的过程。蒙特卡洛积分通过生成随机点并计算这些点在曲线下的面积来估计积分。

具体来说，蒙特卡洛积分的步骤如下：

1. **生成随机点：**根据概率分布生成一组随机点。
2. **计算点值：**对于每个随机点，计算其在曲线下的值。
3. **估计积分：**通过对所有点值的平均值进行缩放，估计积分。

import random

def monte_carlo_integral(f, a, b, n):
  """
  使用蒙特卡洛积分估计函数 f 在 [a, b] 上的积分。

  参数：
    f: 要积分的函数。
    a: 积分下限。
    b: 积分上限。
    n: 随机点的数量。

  返回：
    积分的估计值。
  """

  # 生成随机点
  points = [random.uniform(a, b) for _ in range(n)]

  # 计算点值
  values = [f(x) for x in points]

  # 估计积分
  integral = (b - a) * sum(values) / n

  return integral

蒙特卡洛积分的优点在于它可以应用于复杂函数，这些函数可能无法通过解析方法进行积分。此外，它还可以并行化，这使得它在处理大数据集时非常高效。

# 3.1 MATLAB中的随机数生成函数

MATLAB提供了多种随机数生成函数，用于生成符合不同概率分布的随机数。这些函数包括：

- `rand`: 生成均匀分布的随机数，范围为[0, 1)。
- `randn`: 生成正态分布的随机数，均值为0，标准差为1。
- `randsample`: 从指定集合中随机抽取指定数量的元素。
- `unifrnd`: 生成均匀分布的随机数，指定范围为[a, b)。
- `normrnd`: 生成正态分布的随机数，指定均值和标准差。

**代码块：**

% 生成均匀分布的随机数
randNum = rand(1, 10);

% 生成正态分布的随机数
normNum = randn(1, 10);

% 从集合中随机抽取 5 个元素
sampleNum = randsample(1:10, 5);

% 生成范围为 [0, 10) 的均匀分布随机数
unifNum = unifrnd(0, 10, 1, 10);

% 生成均值为 5，标准差为 2 的正态分布随机数
normNum2 = normrnd(5, 2, 1, 10);