贝叶斯推理：蒙特卡洛模拟在MATLAB中的高级应用

# 1. 贝叶斯推理基础**

贝叶斯推理是一种基于贝叶斯定理的统计方法，它将不确定性量化为概率分布。它允许我们根据已知信息更新我们的信念，并对未知事件做出预测。贝叶斯推理广泛应用于各种领域，包括机器学习、金融和医学。

贝叶斯定理的基本公式为：

P(A | B) = (P(B | A) * P(A)) / P(B)

其中：

* P(A | B) 是在事件 B 发生的情况下事件 A 发生的概率（后验概率）
* P(B | A) 是在事件 A 发生的情况下事件 B 发生的概率（似然函数）
* P(A) 是事件 A 的先验概率
* P(B) 是事件 B 的边缘概率

# 2. 蒙特卡洛模拟

### 2.1 蒙特卡洛模拟的基本原理

蒙特卡洛模拟是一种基于概率论的数值方法，用于解决复杂问题。其基本原理是通过生成大量的随机样本，并根据这些样本的统计特性来近似计算目标函数的值。

**原理**

假设我们有一个目标函数 f(x)，其中 x 是一个随机变量。蒙特卡洛模拟通过以下步骤近似计算 f(x) 的期望值：

1. 从 x 的分布中生成 N 个随机样本 x_1, x_2, ..., x_N。
2. 计算每个样本的函数值 f(x_i)。
3. 计算样本的平均值：

E[f(x)] ≈ (1/N) * Σ f(x_i)

### 2.2 马尔可夫链蒙特卡洛方法

马尔可夫链蒙特卡洛 (MCMC) 方法是蒙特卡洛模拟中的一种特殊技术，用于从复杂分布中生成样本。MCMC 方法基于马尔可夫链，其中当前状态仅取决于前一个状态。

**2.2.1 Metropolis-Hastings 算法**

Metropolis-Hastings 算法是 MCMC 方法中的一种，用于从目标分布中生成样本。该算法如下：

1. 初始化一个当前状态 x_0。
2. 对于每个迭代 i：
- 从当前状态 x_i 生成一个候选状态 x'。
- 计算接受概率：

α(x_i, x') = min(1, f(x') / f(x_i))

- 如果 α(x_i, x') ≥ U，其中 U 是一个均匀分布的随机变量，则接受候选状态，并更新 x_i = x'。
- 否则，拒绝候选状态，并保持 x_i 不变。

**代码块：**

function [samples] = metropolis_hastings(f, x0, n)
    samples = zeros(1, n);
    x = x0;
    for i = 1:n
        x_prime = x + randn(1);
        alpha = min(1, f(x_prime) / f(x));
        if rand() < alpha
            x = x_prime;
        end
        samples(i) = x;
    end
end

**逻辑分析：**

该代码块实现了 Metropolis-Hastings 算法。它首先初始化一个当前状态 x0，然后在每个迭代中生成一个候选状态 x'。它计算接受概率并根据该概率更新当前状态。该过程重复 n 次，最终返回一组从目标分布中生