几何分布：离散分布中的等待时间模型，掌握几何分布的原理

# 1. 几何分布的概念和原理**

几何分布是一种离散概率分布，它描述了在独立试验中获得第一次成功之前所经历的失败次数。它广泛应用于各种领域，包括质量控制、可靠性分析和金融建模。

几何分布的概率质量函数为：

P(X = k) = (1 - p)^k * p

其中：

* X 表示第一次成功之前经历的失败次数
* p 表示每次试验成功的概率
* (1 - p) 表示每次试验失败的概率

# 2. 几何分布的理论基础

### 2.1 概率质量函数和期望值

几何分布的概率质量函数（PMF）描述了在独立试验中，直到第一次成功之前需要进行试验的次数。对于一个参数为 p 的几何分布，PMF 为：

P(X = k) = (1 - p)^k * p

其中：

* X 为需要进行的试验次数
* k 为非负整数
* p 为试验每次成功的概率

几何分布的期望值（E(X)）表示在第一次成功之前需要进行的试验次数的平均值。它可以通过求 PMF 的期望值来计算：

E(X) = Σ[k * P(X = k)] = Σ[k * (1 - p)^k * p] = 1/p

### 2.2 几何分布的推导和证明

几何分布可以通过以下步骤推导：

1. **定义成功和失败事件：**设 S 为成功事件，F 为失败事件。
2. **独立性：**试验是独立的，这意味着每次试验的结果不会影响其他试验的结果。
3. **几何分布的定义：**几何分布是描述直到第一次成功之前需要进行试验次数的分布。
4. **PMF 的推导：**假设已经进行了 k 次试验，并且所有试验都失败了。那么，在第 k+1 次试验中成功的概率为 p。因此，PMF 为：

P(X = k) = P(F^k * S) = (1 - p)^k * p

5. **期望值的证明：**期望值可以通过求 PMF 的期望值来计算：

E(X) = Σ[k * P(X = k)] = Σ[k * (1 - p)^k * p]

= p * Σ[k * (1 - p)^k]

= p * (-d/dp) * Σ[(1 - p)^k]

= p * (-d/dp) * (1/(1 - (1 - p)))

= p * (-d/dp) * (1/p)

= 1/p

# 3. 几何分布的实际应用

### 3.1 独立试验中成功的等待时间

在许多实际应用中，几何分布可以用来建模独立试验中成功的等待时间。例如：

- **投掷硬币：**投掷一枚硬币直到出现正面，等待正面出现的次数服从几何分布。
- **抽奖：**在一个装有 n 张奖券的盒子里抽奖，直到抽到中奖券，等待中奖券出现的次数服从几何分布。
- **故障排除：**一台机器故障后，进行一系列维修尝试直到故障排除，等待故障排除的次数服从几何分布。

**代码块：**

import numpy as np

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