超几何分布：离散分布中的抽样问题，深入理解超几何分布的应用

# 1. 超几何分布简介

超几何分布是一种离散概率分布，用于描述从有限总体中无放回抽取指定数量样本时，目标事件发生的次数。它广泛应用于抽样调查、质量控制和遗传学等领域。超几何分布的概率质量函数由以下公式给出：

P(X = x) = (C(M, x) * C(N - M, n - x)) / C(N, n)

其中：

* N：总体的样本容量
* M：目标事件在总体中出现的次数
* n：抽取的样本容量
* x：目标事件在样本中出现的次数

# 2. 超几何分布的理论基础

### 2.1 超几何分布的定义和性质

**定义：**

超几何分布是一种离散概率分布，用于描述从有限总体中无放回抽取一定数量样本时，成功事件发生的次数。成功事件是指样本中包含特定元素的次数。

**性质：**

* **离散性：** 超几何分布的概率质量函数只在离散的整数点上取非零值。
* **有限总体：** 总体必须是有限的，并且每个元素在总体中只能出现一次。
* **无放回抽样：** 抽取样本时不将已抽取的元素放回总体中。
* **成功事件：** 成功事件是指样本中包含特定元素的次数。

### 2.2 超几何分布的概率质量函数

超几何分布的概率质量函数为：

P(X = x) = (C(M, x) * C(N - M, n - x)) / C(N, n)

其中：

* `N` 是总体的容量
* `M` 是成功事件在总体中出现的次数
* `n` 是抽取的样本容量
* `x` 是样本中成功事件发生的次数

**参数说明：**

* `C(n, k)` 表示从 `n` 个元素中选取 `k` 个元素的组合数，计算公式为 `C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!)`。

**代码块：**

import scipy.special

def hypergeometric_pmf(x, N, M, n):
  """计算超几何分布的概率质量函数。

  Args:
    x: 成功事件发生的次数。
    N: 总体的容量。
    M: 成功事件在总体中出现的次数。
    n: 抽取的样本容量。

  Returns:
    超几何分布的概率质量函数值。
  """

  return (scipy.special.comb(M, x) * scipy.special.comb(N - M, n - x)) / scipy.special.comb(N, n)

**逻辑分析：**

该代码块使用 `scipy.special` 模块中的 `comb` 函数计算组合数，然后根据超几何分布的概率质量函数公式计算概率值。

### 2.3 超几何分布的期望值和方差

**期望值：**

超几何分布的期望值为：

E(X) = n * M / N

**方差：**

超几何分布的方差为：

Var(X) = n * M * (N - M) * (N - n) / (N^2 * (N - 1))

**代码块：**

def hypergeometric_mean(N, M, n):
  """计算超几何分布的期望值。

  Args:
    N: 总体的容量。
    M: 成功事件在总体中出现的次数。
    n: 抽取的样本容量。

  Returns:
    超几何分布的期望值。
  """

  return n * M / N


def hypergeometric_variance(N, M, n):
  """计算超几何分布的方差。

  Args: