离散分布的计算方法：从解析到模拟，掌握离散分布的计算技巧

# 1. 离散分布的解析计算方法

离散分布是一种概率分布，其取值只能为离散的整数值。解析计算方法是通过数学公式直接计算分布的概率、期望值和方差等参数。

### 1.1 概率质量函数（PMF）的计算

PMF 给出离散分布中每个取值的概率。对于一个离散分布 X，其 PMF 为：

P(X = x) = f(x)

其中，x 是 X 的取值，f(x) 是 PMF 函数。

### 1.2 累积分布函数（CDF）的计算

CDF 给出离散分布中小于或等于某个取值的概率。对于离散分布 X，其 CDF 为：

F(x) = P(X ≤ x) = Σ_{i=0}^{x} P(X = i)

其中，Σ 表示求和符号。

# 2. 离散分布的模拟计算方法

在某些情况下，解析计算方法可能过于复杂或不可行。此时，我们可以使用模拟计算方法来近似离散分布的概率分布。模拟计算方法通过生成随机数并根据分布函数进行转换来模拟离散分布。

### 2.1 随机数生成与分布转换

#### 2.1.1 伪随机数生成器

伪随机数生成器（PRNG）是一种算法，它可以生成一系列看似随机的数字。这些数字实际上是根据确定性算法生成的，但它们具有随机性的统计特性。常用的 PRNG 包括线性同余生成器、梅森旋转生成器和 Mersenne Twister。

#### 2.1.2 离散分布的随机数生成

为了生成离散分布的随机数，我们可以使用反演采样方法。该方法基于以下公式：

X = F^-1(U)

其中：

* X 是离散分布的随机变量
* F 是离散分布的累积分布函数
* U 是均匀分布在 [0, 1] 之间的随机数

反演采样算法的步骤如下：

1. 生成一个均匀分布在 [0, 1] 之间的随机数 U。
2. 找到累积分布函数 F 的反函数 F^-1。
3. 计算 X = F^-1(U)。

### 2.2 蒙特卡罗模拟

#### 2.2.1 蒙特卡罗方法原理

蒙特卡罗方法是一种模拟技术，它使用随机数来解决复杂的问题。该方法基于以下原理：

* 如果我们有一个随机变量 X，其概率密度函数为 f(x)，那么我们可以通过生成大量 X 的随机样本并计算它们的平均值来估计 X 的期望值。
* 类似地，我们可以通过计算随机样本的方差来估计 X 的方差。

#### 2.2.2 离散分布的蒙特卡罗模拟

对于离散分布，我们可以使用蒙特卡罗方法来估计概率质量函数、累积分布函数、期望值和方差。

**概率质量函数的估计**

为了估计离散分布的概率质量函数，我们可以生成大量随机样本并计算每个样本的概率。概率质量函数的估计值可以表示为：

p_i ≈ (1/n) * ∑_{j=1}^n I(X_j = x_i)

其中：

* p_i 是 x_i 的概率质量
* n 是随机样本的数量
* X_j 是第 j 个随机样本
* I(X_j = x_i) 是指示函数，当 X_j = x_i 时为 1，否则为 0

**累积分布函数的估计**

为了估计离散分布的累积分布函数，我们可以生成大量随机样本并计算每个样本的累积概率。累积分布函数的估计值可以表示为：

F(x_i) ≈ (1/n) * ∑_{j=1}^n I(X_j ≤ x_i)

其中：

* F(x_i) 是 x_i 的累积概率
* n 是随机样本的数量
* X_j 是第 j 个随机样本
* I(X_j ≤ x_i) 是指示函数，当 X_j ≤ x_i 时为 1，否则为 0

**期望值的估计**

为了估计离散分布的期望值，我们可以生成大量随机样本并计算它们的平均值。期望值的估计值可以表示为：

E(X) ≈ (1/n) * ∑_{j=1}^n X_j

其中：

* E(X) 是 X 的期望值
* n 是随机样本的数量
* X_j 是第 j 个随机样本

**方差的估计**

为了估计离散分布的方差，我们可以生成大量随机样本并计算它们的方差。方差的估计值可以表示为：

Var(X) ≈ (1/n) * ∑_{j=1}^n (X_j - E(X))^2

其中：

* Var(X) 是 X 的方差
* n 是随机样本的数量
* X_j 是第 j 个随机样本
* E(X) 是 X 的期望值

# 3.1 概率计算

#### 3.1.1 概率质量函数的计算

概率质量函数（PMF）给出了离散随机变量取特定值的概率。对于离散分布，PMF 可以通过直接计算或使用累积分布函数 (CDF) 来计算。

**直接计算**

对于离散分布，PMF 可以通过以下公式直接计算：

def pmf(x, p):
  """计算离散分布的概率质量函数。

  参数：
    x: 随机变量的取值。
    p: 概率质量函数。

  返回：
    x 取值的概率。
  """
  if x in p:
    return p[x]
  else:
    return 0

**使用累积分布