MATLAB拟合与优化：探索算法，提升拟合效率

# 1. MATLAB拟合与优化概述

MATLAB拟合与优化是数据分析和建模中的重要工具。拟合是指根据给定数据点找到一条曲线或曲面，以近似表示数据趋势。优化是指在给定约束条件下找到一个函数的最小值或最大值。

MATLAB提供了一系列拟合和优化算法，可以满足各种数据分析和建模需求。这些算法包括线性回归、非线性回归、梯度下降法和牛顿法。通过使用这些算法，用户可以有效地分析数据、建立模型并解决复杂问题。

# 2. 拟合算法**

**2.1 线性回归**

线性回归是一种用于拟合线性关系的数据的统计方法。它通过找到一条直线或平面来近似数据点，使得该线或平面与数据点的距离最小。

**2.1.1 最小二乘法**

最小二乘法是线性回归中最常用的方法。它通过最小化数据点与拟合线的垂直距离的平方和来找到最佳拟合线。最小二乘法可以通过以下公式表示：

f(x) = arg min ∑(y_i - y_hat_i)^2

其中：

* f(x) 是拟合函数
* y_i 是数据点的实际值
* y_hat_i 是拟合函数在 x_i 处的预测值

**2.1.2 正则化回归**

正则化回归是一种线性回归的变体，它通过向损失函数中添加一个正则化项来防止过拟合。正则化项惩罚模型的复杂性，从而鼓励模型找到更简单的拟合。

正则化回归有两种主要类型：

* L1 正则化：向损失函数中添加模型权重的绝对值之和。
* L2 正则化：向损失函数中添加模型权重的平方和。

**2.2 非线性回归**

非线性回归用于拟合非线性关系的数据。它通过找到一条曲线或曲面来近似数据点，使得该曲线或曲面与数据点的距离最小。

**2.2.1 多项式拟合**

多项式拟合是一种非线性回归方法，它通过找到一条多项式曲线来近似数据点。多项式曲线的阶数决定了曲线的复杂性。

**2.2.2 神经网络拟合**

神经网络是一种非线性回归方法，它使用多层感知器来近似数据点。神经网络可以通过训练来学习复杂的关系，使其非常适合拟合非线性数据。

# 3. 优化算法

### 3.1 梯度下降法

梯度下降法是一种迭代优化算法，用于最小化目标函数。它通过沿着负梯度方向更新参数，逐步逼近最优解。

#### 3.1.1 批量梯度下降

批量梯度下降是梯度下降法的基本形式。它使用整个训练数据集计算梯度，然后更新参数：

function [theta, J_history] = gradientDescent(X, y, theta, alpha, num_iters)
    % 初始化参数
    m = length(y); % 样本数量
    J_history = zeros(num_iters, 1); % 损失函数历史记录

    for i = 1:num_iters
        % 计算梯度
        grad = (1/m) * X' * (X * theta - y);

        % 更新参数
        theta = theta - alpha * grad;

        % 记录损失函数
        J_history(i) = computeCost(X, y, theta);
    end
end

**参数说明：**

* X：特征矩阵
* y：标签向量
* theta：参数向量
* alpha：学习率
* num_iters：迭代次数

**代码逻辑：**

1. 初始化参数，包括样本数量 m 和损失函数历史记录 J_history。
2. 进入迭代循环，每次迭代执行以下步骤：
* 计算梯度 grad，它是损失函数关于参数 theta 的导数。
* 更新参数 theta，沿着负梯度方向移动。
* 记录当前迭代的损失函数值 J_history(i)。

#### 3.1.2 随机梯度下降

随机梯度下降是一种变体，它一次只使用一个训练样本来计算梯度。这使得它比批量梯度下降更有效率，但可能导致更不稳定的收敛过程：

function [theta, J_history] = stochasticGradientDescent(X, y, theta, alpha, num_iters)
    % 初始化参数
    m = length(y); % 样本数量
    J_history = zeros(num_iters, 1); % 损失函数历史记录

    for i = 1:num_iters
        % 随机选择一个样本
        rand_idx = randi([1, m]);

        % 计算梯度
        grad = (1/m) * X(rand_idx, :)' * (X(rand_idx, :) * theta - y(rand_idx));

        % 更新参数
        theta = theta - alpha * grad;