Matlab小波变换在金融领域的应用：时间序列分析与预测的秘密

# 1. Matlab小波变换基础**

小波变换是一种时频分析工具，它可以将信号分解为一系列小波函数的线性组合。这些小波函数具有局部化特性，既可以在时域又可以在频域上进行分析。

在Matlab中，小波变换可以通过`wavelet`工具箱实现。该工具箱提供了各种小波函数和变换算法，包括连续小波变换（CWT）和离散小波变换（DWT）。

CWT通过平移和缩放母小波函数来生成连续的小波变换。DWT则通过对信号进行采样和下采样来生成离散的小波变换。DWT具有计算效率高、易于实现等优点，因此在实际应用中更为常用。

# 2. 小波变换在金融时间序列分析**

**2.1 小波变换的时频特性**

小波变换是一种时频分析工具，它可以将信号分解为不同尺度和频率的成分。与傅里叶变换不同，小波变换可以同时获得信号的时域和频域信息。

**2.1.1 连续小波变换**

连续小波变换（CWT）使用一个称为母小波的函数来分析信号。母小波是一个具有有限能量、振荡衰减的函数。CWT通过将母小波平移和缩放来计算信号的时频表示：

CWT(s, τ) = ∫x f(x)ψ((x - τ)/s) dx

其中：

* s：尺度因子，控制小波的缩放
* τ：平移因子，控制小波在时域中的位置
* f(x)：信号
* ψ(x)：母小波

CWT的时频表示是一个二维函数，其中水平轴表示时间，垂直轴表示频率。

**2.1.2 离散小波变换**

离散小波变换（DWT）是CWT的离散版本，它使用一组离散的尺度和平移因子。DWT通过将信号通过一系列低通和高通滤波器来计算。

DWT(j, k) = ∫x f(x)φ_j,k(x) dx

其中：

* j：尺度因子
* k：平移因子
* f(x)：信号
* φ_j,k(x)：离散小波函数

DWT的时频表示也是一个二维函数，但它仅在离散的尺度和频率上定义。

**2.2 时间序列分解与重构**

小波变换可以用于分解和重构时间序列。

**2.2.1 小波包分解**

小波包分解（WPD）是DWT的一种扩展，它将信号分解为多个子带，每个子带对应于不同的频率范围。WPD通过递归地将每个子带进一步分解为低频和高频子带来实现。

[cA, cD] = dwt(x, 'haar');
[cA1, cD1] = dwt(cA, 'haar');

其中：

* x：信号
* cA：低频子带
* cD：高频子带

**2.2.2 小波阈值去噪**

小波阈值去噪是一种使用小波变换去除时间序列中噪声的技术。它通过将小波系数阈值化来实现。

denoised_signal = wden(signal, 'haar', 'sqtwolog', 5);

其中：

* signal：噪声信号
* 'haar'：母小波
* 'sqtwolog'：阈值规则
* 5：阈值水平

# 3.1 小波神经网络预测模型

**3.1.1 神经网络基础**

神经网络是一种受生物神经系统启发的机器学习算法。它由相互连接的神经元组成，每个神经元接收输入，进行计算，并产生输出。神经网络通过训练大量数据来学习模式和特征，从而能够对新数据进行预测。

**3.1.2 小波神经网络结构**

小波神经网络（WNN）是将小波变换与神经网络相结合的一种预测模型。它利用小波变换的时频特性对时间序列进行分解，提取不同尺度的特征，然后将这些特征输入到神经网络中进行预测。

WNN的结构通常包括以下层：

* **输入层：**接收小波分解后的时间序列特征。
* **隐藏层：**由多个神经元组成，对输入特征进行非线性变换。
* **输出层：**产生预测结果。

### 3.2 小波支持向量机预测模型

**3.2.1 支持向量机基础**

支持向量机（SVM）是一种监督学习算法，用于分类和回归任务。它通过找到一个超平面将数据点分隔成不同的类别，从而实现预测。

**3.2.2 小波支持向量机模型**

小波支持向量机（WSVM）是将小波变换与支持向量机相结合的一种预测模型。它利用小波变换对时间序列进行分解，提取不同尺度的特征，然后将这些特征输入到支持向量机中进行预测。

WSVM的结构通常包括以下步骤：

1. **小波分解：**对时间序列进行小波分解，提取不同尺度的特征。
2. **特征选择：**选择最能代表时间序列特征的特征。
3. **支持向量机训练：**使用选定的特征训练支持向量机模型。
4. **预测：**输入新的时间序列数据，利用训练好的模型进行预测。

**代码块：**

import pywt
import numpy as np
from sklearn.svm import SVC

# 小波分解
wavelet = 'db4'
levels = 5
coeffs = pywt.wavedec(data, wavelet, lev