随机递归最优控制：最大值原理与动态规划的关联及应用

"史敬涛的论文探讨了随机递归最优控制问题中最大值原理与动态规划的关联，重点在于二者在一定可微性条件下的相互关系。文章通过分析对偶过程、广义哈密顿函数和值函数，揭示了它们之间的内在联系，并通过线性二次递归效用投资组合优化问题作为实例，具体展示了这些理论的应用。关键词包括随机最优控制、递归效用、最大值原理、动态规划和倒向随机微分方程。" 在这篇论文中，作者史敬涛深入研究了随机递归最优控制问题，这是一个在金融工程、经济学和控制理论等领域广泛应用的课题。随机最优控制涉及到在随机环境下的决策优化，而递归效用则反映了决策者的时间偏好和风险态度，特别是在不确定的市场环境中。 最大值原理是解决这类问题的一种重要工具，它提供了解决最优控制问题的微分方程系统，即著名的 Pontryagin's 最大值原理。这个原理指出，在满足某些边界条件的情况下，最优控制策略可以通过解一组偏微分方程来确定，其中包含状态方程、控制变量以及伴随的对偶变量（也称作共轭向量或 adjoint process）。 另一方面，动态规划是一种处理多阶段决策问题的方法，它将全局最优策略分解为一系列局部最优决策。在随机环境中，这通常表现为Bellman 方程，一个关于价值函数的偏微分方程，价值函数表示在当前状态下的最优期望回报。 论文的核心贡献在于，作者在一定的可微性假设下建立了最大值原理与动态规划之间的桥梁，给出了对偶过程、广义哈密顿函数和值函数之间明确的关系。这不仅深化了理论理解，也为实际应用提供了更坚实的数学基础。 为了进一步阐明这些理论概念，史敬涛选取了一个具体的金融市场问题——线性二次递归效用投资组合优化。这是一个典型的问题，涉及到投资者如何在风险和收益之间权衡，以最大化递归形式的效用。通过这个例子，读者可以直观地看到最大值原理和动态规划在解决实际问题时如何相互作用和转化。 论文的关键词表明，该研究涵盖了随机最优控制问题的关键方面，包括如何利用倒向随机微分方程（BSDEs）来表述动态规划中的 Bellman 方程。这些工具和方法在现代金融学和应用数学的研究中占据了核心地位，对于理解和解决复杂的动态优化问题具有重要意义。