高考数学解析：解三角形中的最值与范围问题策略

"该文档是关于高中数学专题24——解三角形中的最值和范围问题的解析版。主要内容包括正弦定理、余弦定理的应用，三角形中的不等关系，以及处理不等关系的方法，并通过经典例题进行解析。" 在解三角形的问题中，正弦定理和余弦定理是核心工具。正弦定理指出，对于任意三角形ABC，其三个边a、b、c和对应角A、B、C的关系为：a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R（R为外接圆半径）。这个定理主要用于边角互化，尤其是在处理涉及边长和角度比例的方程或分式时。例如，当题目中出现sinA/a = sinB/b = sinC/c的形式，可以直接应用正弦定理转换。 余弦定理则更为一般，它表示为c² = a² + b² - 2ab cosC，或其变式a² = b² + c² - 2bc cosA，b² = a² + c² - 2ac cosB。这个定理尤其在处理涉及角度余弦或者边长平方的情况时非常有用。配合均值不等式，可以求解三角形边长的最值问题。 三角形中的不等关系是解题的基础，例如，任意两边之和大于第三边，以及边与角的关系如a/sinA = b/sinB = c/sinC。这些不等关系在解决是否存在三角形，以及确定三角形形状和大小时起到关键作用。 处理不等关系时，常用的方法包括将多变量问题简化为单变量函数，通过边角互化和代入消元，转化为求函数的值域或最值。此外，利用均值不等式也是求解最值的常见策略，例如，根据AM-GM不等式可以求解某些表达式的最小值。 在经典例题中，例如给出的2018届百校联盟TOP20高三四月联考全国一卷试题，通过余弦定理找出面积表达式，然后结合二次函数和余弦函数的性质来求解最大值。这种解题思路在实际考试中具有很高的参考价值，因为它展示了如何将几何问题转化为代数问题并求解。 理解和熟练运用正弦定理、余弦定理以及三角形中的不等关系，是解决高中数学解三角形问题的关键。通过不断练习和掌握这些技巧，学生能够有效地应对高考中的相关题目。