中”这个子问题，若只考虑第i件物品的策略（放或不放），那么就可以转化
为一个只和前i − 1件物品相关的问题。如果不放第i件物品，那么问题就转化
为“前i − 1件物品放入容量为v的背包中”，价值为F [i − 1, v]；如果放第i件物
品，那么问题就转化为“前i − 1件物品放入剩下的容量为v − C
i
的背包中”，
此时能获得的最大价值就是F [i − 1, v − C
i
]再加上通过放入第i件物品获得的价
值W
i
。
伪代码如下：
F [0, 0..V ] = 0
for i = 1 to N
for v = C
i
to V
F [i, v] = max{F [i − 1, v], F [i − 1, v − C
i
] + W
i
}
1.3 优化空间复杂度
以上方法的时间和空间复杂度均为O(V N )，其中时间复杂度应该已经不能
再优化了，但空间复杂度却可以优化到O(V )。
先考虑上面讲的基本思路如何实现，肯定是有一个主循环i = 1..N，每次
算出来二维数组F [i, 0..V ]的所有值。那么，如果只用一个数组F [0..V ]，能不
能保证第i次循环结束后F [v]中表示的就是我们定义的状态F [i, v]呢？F [i, v]是
由F [i − 1 , v]和F [i − 1, v − C
i
]两个子问题递推而来，能否保证在推F [i, v]时（也
即在第i次主循环中推F [v]时）能够取用F [i − 1, v] 和F [i − 1, v − C
i
]的值呢？事
实上，这要求在每次主循环中我们以v = V..0的递减顺序计算F [v]，这样才能保
证推F [v]时F [v − C
i
]保存的是状态F [i − 1, v − C
i]
的值。伪代码如下：
F [0..V ] = 0
for i = 1 to N
for v = V to C
i
F [v] = max{F [v], F [v − C
i
] + W
i
}
其中的F [v ] = max{F [v], F [v − C
i
] + W
i
}一句，恰就对应于我们原来的转移方
程，因为现在的F [v − C
i
]就相当于原来的F [i − 1, v − C
i
]。如果将v的循环顺序
从上面的逆序改成顺序的话，那么则成了F [i, v]由F [i, v − C
i
]推导得到，与本题
意不符。
事实上，使用一维数组解01背包的程序在后面会被多次用到，所以这里抽象
出一个处理一件01背包中的物品过程，以后的代码中直接调用不加说明。
def ZeroOnePack(F , C, W )
for v = V to C
F [v] = max(F [v], f [v − C] + W )
有了这个过程以后，01背包问题的伪代码就可以这样写：
for i = 1 to N
ZeroOnePack(F, C
i
, W
i
)
1.4 初始化的细节问题
我们看到的求最优解的背包问题题目中，事实上有两种不太相同的问法。
有的题目要求“恰好装满背包”时的最优解，有的题目则并没有要求必须把背
包装满。一种区别这两种问法的实现方法是在初始化的时候有所不同。
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