Matlab实现Nelder-Mead优化方法：Rosenbrock函数案例

资源摘要信息:"本资源提供了使用Matlab实现的Rosenbrock函数及其优化过程中使用的Nelder-Mead方法的源代码。Rosenbrock函数，也被称为“香蕉函数”，是一个在优化问题中常用的非线性测试函数，因其独特的形状和难度而著名。Nelder-Mead方法是一种直接搜索算法，用于求解无约束的多变量优化问题，不需要计算目标函数的导数，因此也被称为“无导数优化法”。 ### Rosenbrock函数 Rosenbrock函数是一种被广泛用于测试优化算法性能的非线性、非凸函数，定义如下： \[ f(x, y) = (a - x)^2 + b(y - x^2)^2 \] 其中，\( a \)和\( b \)通常是常数，\( a \)常常取值为1，\( b \)取值为100。这个函数有一个全局最小点在\( (a, a^2) \)处，即\( (1, 1) \)。Rosenbrock函数的图形形状类似弯曲的山谷，因此又被称为“香蕉山谷”。 ### Nelder-Mead方法 Nelder-Mead方法，又称为单纯形法，是一种用于寻找多变量函数局部最小值的算法。它不需要目标函数的导数信息，适合于不可微或噪声较多的函数优化。该方法通过构建一个初始的单纯形（多维三角形），然后通过反射、扩张、压缩、和收缩单纯形等步骤来寻找最优解。 ### Matlab代码实现 资源中包含的Matlab代码文件，如`sdbt.m`、`newtonbt.m`、`easy2dquad.m`、`easy5dquad.m`和`rosenbrock.m`，分别实现了不同的优化功能。这些文件可对输入点返回目标值、梯度以及Hessian矩阵，并统计目标值、梯度和Hessian的调用次数。 例如，`easy2dquad.m`和`easy5dquad.m`优化了二维和五维的二次方程。这些代码文件可用于测试不同维度函数的优化过程，以及Nelder-Mead方法的性能。 ### 优化流程 1. 初始化一个单纯形，通常由随机选择的几个点组成。 2. 计算单纯形所有点的目标函数值。 3. 通过比较目标函数值，确定哪个点需要改进。 4. 执行单纯形法的反射、扩张、压缩或收缩操作，以形成一个新的单纯形。 5. 重复上述步骤，直到满足终止条件（如达到预设的公差）。 ### 调用次数 Matlab代码还会记录函数的目标值、梯度和Hessian矩阵的调用次数，并在没有输入参数的情况下返回这些计数。可以使用`clear`命令来重置这些计数器。 ### 使用说明 - 调用函数时，不需要输入参数，函数会返回当前的调用次数统计。 - 使用`clear`命令后，再次调用函数，可以重新开始跟踪调用次数。 ### 开源项目存储库 资源中的内容属于名为“Math661-优化：研究项目存储库”的开源项目，这意味着项目的代码和相关文件都可以被社区访问和使用，有助于促进学术交流和算法的改进。