"广场铺砖问题分析与解决方法-状态压缩动态规划"

广场铺砖问题是一个经典的状态压缩类型动态规划问题。给定一个W行H列的广场，要用1*2小砖铺盖，小砖之间不能重叠，问题就是有多少种不同的铺法。根据题目的限制条件，W和H均在1到11之间，这意味着广场的面积很小，但由于小砖的大小是1*2，需要考虑不同的铺法。最直观的解法是通过搜索，可以采用深搜或宽搜，但由于深度最大可达到11，会导致回溯操作增多，时间复杂度较高。而宽搜方法又会导致庞大的树结构，空间和时间复杂度都难以承受。因此需要寻找其他方法解决这个问题。 进一步分析可得到以下性质： 1. 如果W和H都是奇数，则无解，如果W和H中有一个是偶数，则有解。因为1*2砖铺盖地板需要2块，所以如果W和H都是奇数，广场面积为奇数，无论铺多少块都无法覆盖整个地板；而如果有一个是偶数，则可以用面积的一半来铺盖整个地板。 2. 每次铺砖只会影响所铺的上下两行。因为小砖的形状是1*2，所以每次铺砖只会影响两行，可以根据这个性质来简化问题求解过程。 根据以上性质和分析，可以采用动态规划的方法来解决广场铺砖问题。具体解决步骤如下： 1. 定义状态：使用二进制数表示每一行的铺砖状态，0表示空，1表示铺砖。那么一个状态就是一个长度为W的二进制数，共有2^W种状态。 2. 定义转移方程：假设当前状态为state，上一行的状态为preState，状态转移方程可以表示为：dp[state] += dp[preState]，其中preState是与state状态相容的上一行状态。 3. 初始化：对于只有一行的情况，初始状态为所有行都为空，即dp[0] = 1。 4. 最终结果：最终的结果为dp[2^W-1]，即所有行都铺满的情况下的铺砖方法数。 通过上述动态规划的方法，可以高效地解决广场铺砖问题，避免了深搜和宽搜方法中可能出现的回溯和庞大树结构的问题。通过合理定义状态和转移方程，可以在较短的时间内得到问题的解决方案。