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中心极限定理在概率预测中的应用
2022.11.1
摘 要: 概率论是研究随机现象统计规律性的学科。随着科技的快速发展,概率论的应用越来越广
泛。中心极限定理(central limit theorem)是概率论中最重要的定理之一,它讨论的是随机变量序列
部分和分布渐近于正态分布的一类问题,是数理统计和误差分析的理论基础,有着非常广泛的应用
方向。中心极限定理为解决实际应用问题提供了理论基础。文章以中心极限定理为理论依据,讨论
了其在概率预测方面的应用。
一、 自学小结
在概率统计学中有很多重要的研究课题,而中心极限定理和大数定律就是其中之一,
并且二者是联系数理统计和概率论的一个很重要的承前启后的桥梁。我们都知道,在研
究“大量”的随机现象时,大家通常采用极限这一形式,但是有关极限定理的内容有各种
各样的形式。在这些成果里,比较早的有:伯努利大数定律、泊松定理以及棣莫佛 -
拉普拉斯定理。这些理论为概率论的开辟提供了重要的新的研究方向——中心极限定理、
大数定律以及以泊松分布和正态分布为代表的关于无穷可分布理论的研究。在这些研究
方向中,中心极限定理和大数定律是一类讨论关于随机变量序列部分和的分布能无限趋
向于正态分布的定理中特别重要的,有着实际应用背景的数学工具。
1.1 随机变量的特征函数
个人理解:顾名思义,随机变量的特征函数反映的是这个随机变量的特征。如果随
机变量的特征函数相同,那么它们的概率函数也是相同的,反之亦然。我们可以用傅里
叶变换求得对应的概率密度函数,从而进一步计算方差等参数。
1.2 随机序列及其统计特性
与随机过程的描述方法一样,随机序列也可用 N 维概率质量函数和分布函数进行微
观描述,也可以用随机序列的数字特征从统计平均的意义上进行宏观描述。随机序列的
数字特征包括均值 Rx、自相关矩阵 Rx 及协方差矩阵 Cx,且这三者间的关系为
Cx=Rx-MxMxT。
1.3 随机序列的功率谱密度
功率谱密度函数为 在整个频率范围内对它进行积分以
后,就可得到信号的总功率。其描述了信号功率在各个不同频率上的分布情况。任何直
流分量和周期分量在频域上都表现为频率轴上某点的零带宽内的有限功率,都会在频域
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