程佩青《数字信号处理》第三版：IIR滤波器设计与离散时间信号分析

“IIR数字滤波器的设计方法-数字信号处理 清华大学老师 程佩青 第三版课件（563页）” 本文将深入探讨数字信号处理中的一个重要主题——IIR（无限冲激响应）数字滤波器的设计方法。这一主题由清华大学的程佩青教授在她的第三版课件中详细阐述。首先，设计IIR数字滤波器通常涉及先设计一个模拟滤波器，然后将其转换为数字滤波器。这种设计方法基于离散线性移不变系统的理论，旨在通过计算机辅助设计法来逼近给定的性能要求。 在离散时间信号与系统的学习中，我们首先了解序列的概念，这是数字信号处理的基础。序列是由离散时间变量n的离散取值组成的，函数值是连续的。例如，离散时间信号可以通过对连续时间信号 xa(t) 进行等间隔采样得到，采样间隔为T，得到离散序列 x[n] = xa(nT)，其中n是整数。这种信号在时间上是离散的，但在幅度上是连续的。 离散时间信号有多种表示方法，包括公式表示法、图形表示法和集合符号表示法。其中，最基础的序列包括单位抽样序列和单位阶跃序列。单位抽样序列 ε[n] 是一种特殊的序列，其值在n=0时为1，其他时刻为0；单位阶跃序列 u[n] 则是当n非负时值为1，否则为0。这两种序列在分析和设计数字滤波器时具有重要作用。 设计IIR数字滤波器的过程中，模拟滤波器设计通常是通过s平面的分析进行的，s平面是复频域的表示。一旦模拟滤波器的频率响应满足设计要求，就使用某种转换方法，如双边Z变换或双线性变换，将其转换到z平面，从而得到数字滤波器的系数。这种方法的关键在于找到合适的模拟滤波器结构（如巴特沃兹滤波器、切比雪夫滤波器或椭圆滤波器），然后精确地进行转换，确保数字滤波器在频域和时域上的性能符合预期。 线性移不变系统的特性是系统对输入信号的响应不随时间变化，且输出只与当前及之前的输入有关。对于因果系统，其输出仅依赖于过去的输入和当前的输入。稳定性的概念是系统是否能保持输出的有限性，即使对于无限长的输入。在离散时间系统中，稳定性通常通过检查系统函数的极点位置来判断，所有极点必须位于单位圆内。 在程佩青老师的课件中，还会进一步讨论如何利用线性差分方程描述这些系统，以及如何通过迭代法求解单位抽样响应。此外，奈奎斯特抽样定理在连续时间信号到离散时间信号转换中起着关键作用，确保在采样率合适的情况下，离散信号可以准确地再现原始连续信号。 IIR数字滤波器设计是一门深奥且实用的技术，涵盖了信号处理的多个核心概念，包括序列分析、系统性质、滤波器转换以及稳定性判断。通过程佩青教授的课件，学生可以系统地学习和掌握这些知识，为实际的信号处理应用打下坚实基础。