动态规划解决2004年分区联赛问题

"该资源主要讨论了动态程序设计方法在解决特定问题中的应用，特别是针对2004年分区联赛中的一个问题。这个问题涉及到找到在两个不同排序方向上具有最长递增子序列的学生身高序列，从而确定最佳合唱队形。动态程序设计在此问题中的运用体现在通过计算左右两个方向上身高递增人数的序列b和c，来找到最大可能的合唱队人数，最终确定不参加合唱队的人数作为解。" 动态程序设计(Dynamic Programming, DP)是一种在计算机科学中解决问题的有效方法，尤其在处理优化问题时。在这个问题中，DP被用来找到两个不同方向上的最长递增子序列，这与经典的最长递增子序列(LIS)问题相似，但在这里需要考虑两个方向：由左向右和由右向左。 首先，定义两个数组a和b，其中a存储学生们的身高，b[i]表示从第1个学生到第i个学生之间的身高递增子序列的最大长度。同样地，定义另一个数组c，其中c[i]表示从第n个学生到第i个学生之间的身高递增子序列的最大长度。数组b和c的值可以通过遍历所有小于当前学生身高的学生来更新。 状态转移方程可以表示为： - 对于b[i]：b[i] = max(b[j] + 1 | a[j] < a[i]), 其中1 ≤ j ≤ i - 1 - 对于c[i]：c[i] = max(c[j] + 1 | a[j] < a[i]), 其中i + 1 ≤ j ≤ n 这些方程表明，为了最大化b[i]和c[i]，我们需要找到之前子序列中使得身高递增的最小子序列，然后在此基础上增加1。由于这个问题存在最优子结构（每个子问题的解可以组合成原问题的解）和重叠子问题（同一个子问题可能被多次求解），因此适合使用DP来解决。 最后，合唱队的人数是b和c数组对应元素的最小值，因为每个学生至少会被计算一次。所以，解就是n减去这个最小值。 在另一个题目的描述中，涉及到了一个关于日程安排和孩子心情的问题。津津的学习时间c[i]是她在学校上课的时间a[i]加上妈妈安排的上课时间b[i]。如果c[i]超过8小时，那么津津在这一天会不高兴。通过遍历一周的每一天并记录最大学习时间，我们可以找出津津最不高兴的一天。 总结起来，这两个问题都展示了动态程序设计在解决实际问题中的强大能力，通过对子问题的最优解进行组合，有效地避免了重复计算，提高了算法的效率。