二维凸包算法解析：Gift-Wrapping与Graham-Scan

"探求二维凸包及其应用，许瑞广，余志伟，本文介绍了二维凸包的概念、性质，以及Gift-Wrapping、Graham-Scan等求解方法，分析了算法正确性和时间复杂度，并通过实例展示了二维凸包的应用。" 在计算几何领域，二维凸包是一个至关重要的概念，它在很多实际问题中都有应用，例如路径规划、图像处理、机器学习等领域。凸包可以被理解为一个封闭的形状，它可以包围一个点集，且任何从凸包上一点到另一点的直线段都完全位于点集内部或边界上。 凸包的一个关键特性是，它是包含给定点集的最小凸集。这意味着，如果试图用一个尽可能小的凸形状来包围这些点，那么得到的形状就是凸包。在二维空间中，凸包通常表现为一个凸多边形，其边界由点集中的一些点构成。 定义凸多边形时，我们发现，对于凸多边形内的任意两点，它们的中点也必须在多边形内。这个性质可以扩展到所有内分点，即如果一个多边形内任意比例的线段分割始终在多边形内，那么这个多边形是凸的。相反，如果存在一个内分点在多边形外部，则该多边形是凹的。 计算二维凸包有多种算法，其中Gift-Wrapping（也称为 Jarvis March）算法和Graham-Scan算法是常见的两种方法。Gift-Wrapping算法通过选择一个起点，然后逐步添加点到凸包直到所有点都被包含，它的主要步骤包括排序点、找到最远点、扫描剩余点。而Graham-Scan算法则首先找到三个最低点，构造初始边，然后通过扫描其余点，根据角度判断是否需要加入凸包。 这两种算法的时间复杂度都是线性的，O(n log n)，其中n是点的数量。这是因为它们都需要先对点进行排序。Gift-Wrapping算法虽然直观，但在处理大量重复点时可能会效率较低。Graham-Scan算法则相对更高效，但需要额外的空间来存储扫描线上的点。 二维凸包的应用广泛，例如在计算最小面积覆盖、求解最短路径问题、计算图形的碰撞检测等场景中都能看到其身影。在农业中，它可以帮助确定最小围墙的路径来围住一片田地；在计算机图形学中，它可以用于快速判断两个图形是否相交；在机器学习中，它可以用来构建支持向量机的决策边界。 总结，二维凸包是计算几何中的基础工具，理解和有效地计算凸包对于解决许多实际问题至关重要。通过 Gift-Wrapping 和 Graham-Scan 等算法，我们可以快速准确地找到点集的凸包，从而在各种应用中发挥其作用。