使用深度优先搜索求解哈密尔顿环问题

"83、哈密尔顿环-2020.02.29a" 在图论中，哈密尔顿环（Hamiltonian cycle）是图的一个重要概念，它指的是一个从某个顶点出发，经过图中每个顶点恰好一次，并最终返回起点的简单闭合路径。与欧拉回路不同，欧拉回路关注的是路径而不是顶点，它要求在无向图中走过每条边且仅走过一次。哈密尔顿环则要求在无向图中走过每个顶点且仅走过一次，并形成一个环。 哈密尔顿环问题是一个著名的NP完全问题，这意味着找到一个哈密尔顿环在最坏情况下可能需要尝试所有可能的路径，这在图的顶点数量非常大时是不可行的。因此，通常会采用启发式算法或近似算法来寻找可能的解。 给定的代码片段展示了一个基于深度优先搜索（DFS）的简单算法来寻找图中的哈密尔顿环。该算法使用了邻接矩阵`g`来存储图的连接关系，`visited`数组用于跟踪已访问的顶点，`v1`数组记录某个顶点是否已经在当前搜索路径中出现过，`ans`数组存储当前找到的哈密尔顿环的顶点序列，`num`数组记录每个顶点连接的其他顶点的数量。 在`dfs`函数中，从起点开始递归地探索图的每一个可能路径。当访问到一个新的顶点时，将其标记为已访问，并尝试连接到尚未访问过的相邻顶点。如果发现一条路径回到了起点，且这条路径没有重复顶点（即不在`v1`数组中），那么就找到了一个哈密尔顿环，输出答案并回溯。在回溯过程中，只恢复`visited`数组的值，因为我们需要保持`v1`数组的状态，以便后续的搜索能正确判断哪些顶点已经在环中出现过。 `main`函数中，首先初始化`visited`和`v1`数组，接着读入图的顶点数`n`和边数`m`，然后输入每条边的两个端点来构建图的邻接矩阵。最后，对于每个顶点作为起点，调用`dfs`函数进行搜索，尝试找到哈密尔顿环。 需要注意的是，这个简单的DFS解决方案在有哈密尔顿环的情况下可以找到解，但在无解的情况下可能会陷入无穷递归，因此在实际应用中通常需要添加剪枝策略以减少搜索空间。此外，这个算法没有处理奇数节点数的图，因为哈密尔顿环要求图中必须有偶数个边，以确保最后能够回到起点。对于奇数节点数的图，需要额外的条件或策略来处理。