线性空间的维数、基与坐标问题的总结

第9讲主要讨论了线性空间中的维数、基与坐标的相关概念和性质。线性空间的构造是通过引入向量的线性关系来实现的，这样可以方便进行运算。我们首先要了解如何将线性空间的全体元素表示出来，以及这些元素之间的关系。 在线性空间中，向量之间的线性关系是非常重要的。对于一个数域上的线性空间V，我们可以使用一组向量进行线性组合来表示其他向量。这组向量被称为向量组，其中的向量用α1, α2, ..., αr表示。如果存在一组标量α1, α2, ..., αr，使得向量β可以用这组向量组进行线性组合表示，那么我们可以说向量β可以由向量组线性表出。具体地，我们可以写成β=α1α1+α2α2+...+αrαr。 在线性空间中，还存在另一种关系，即向量组之间的线性关系。如果一个向量组中的每个向量都可以由另一个向量组进行线性表出，那么我们可以说这两个向量组可以互相线性表出。具体地，如果向量组β1, β2, ..., βs可以由向量组α1, α2, ..., αr线性表出，同时向量组α1, α2, ..., αr也可以由向量组β1, β2, ..., βs线性表出，那么我们可以写成β1=β1+β2+...+βs，α1=α1+α2+...+αr。 通过以上的讨论，我们可以看出，线性空间中向量之间存在着线性关系，这是线性空间的一个基本特性。这一特性使得我们可以通过线性组合的方式来表示和计算向量。 然而，线性空间是一个抽象的概念，与具体的东西并没有直接的联系。为了能够更加具体地理解和表示线性空间的元素，我们引入了坐标的概念。通过将线性空间的元素与数进行联系，我们可以用比较具体的数学式子来表达线性空间中的向量。这使得线性空间中的运算更加方便和直观。 总结起来，线性空间中的向量之间存在着线性关系，我们可以通过线性组合的方式来表达和计算向量。线性空间的维数、基与坐标的引入使得线性空间的元素能够与具体的数进行联系，并且能够用比较具体的数学式子来表示。这些概念和性质为线性空间的理论和运算提供了重要的工具和方法。