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圆锥曲线与函数保值问题详解
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更新于2024-07-19
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"《函数压轴小题之保值(倍值)问题.pdf》是一份针对高中生数学学习的高级课程讲义,主要涵盖了圆锥曲线、极坐标系/参数方程/线性规划、平面几何、三角、复数、逻辑、计数原理与组合数、概率与统计以及初等数论等多个重要数学知识点。课程结构严谨,分为五个部分: 1. 知识方法拓展:这部分深入解析了圆锥曲线中的直线系方程,如如何通过两直线的交点P来构建参数化的一般形式,包括特殊情况如平行直线的表达式。同时,还介绍了圆锥曲线的第二定义,如离心率和准线方程,这是理解曲线特性的关键。 2. 热身练习:每节内容都配有相应的热身练习,旨在帮助学生巩固所学理论,提升解题技巧。 3. 真题精讲:这部分集中展示了历年来的高考或自主招生考试中的典型题目,让学生了解实际考试中的问题类型和解题策略。 4. 重点总结:对每节内容的核心知识点进行归纳总结,帮助学生提炼关键概念,便于记忆和复习。 5. 强化训练:提供强化练习题,用于检验学生对知识点的理解和应用能力,进一步提升解题实战水平。 从第九讲圆锥曲线开始,课程逐步深入,每节讲义都围绕着提高学生的数学思维能力和解题技巧展开,尤其注重数学问题的保值和倍值策略,这些都是函数压轴题中常见的解题思路。整个课程设计既注重基础理论的扎实,也关注实际应用的技巧,适合高中生进行深入学习和备考使用。"
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105
(A)
2 2 4 4
x y x y− = +
(B)
( )
2
2 2 2 2
x y x y− = +
(C)
( )
2 2 4 4
2x y x y− = +
(D)
( )
2
2 2 2 2
2x y x y− = +
【答案】
B
【解析】任取点
( )
00
,xy
在双曲线
22
1xy−=
上,设其关于圆周
22
:1C x y+=
的对称点
*
00
( , )P x t y t
,则
2 2 2 2 2 2
0 0 0 0
1x y x t y t+ + =
,即
22
00
1
t
xy
=
+
.
令
0
0
x x t
y y t
=
=
,则
22
2 2 2 2 2 2
00
00
2 2 2 2 2 2
0 0 0 0
,
( ) ( )
xy
x x t y y t
x y x y
= = = =
++
2 2 2 2
2 2 2 2
0 0 0 0
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
0 0 0 0 0 0 0 0
11
,
( ) ( ) ( )
x y x y
x y x y
x y x y x y x y
−+
− = = + = =
+ + + +
,
故
2 2 2 2 2
( )x y x y− = +
,即
*
P
所满足的方程是
( )
2
2 2 2 2
x y x y− = +
6、( 06 武大)过点
( )
1,3P
的动直线交圆
22
:4C x y+=
于 A、B 两点,分别过 A、B 作圆 C
的切线,如果两切线相交于点 Q,那么点 Q 的轨迹为( )
(A)直线 (B)直线的一部分 (C)圆的一部分 (D)双曲线的一支
【答案】
B
【解析】设点
A
),(
11
yx
、
B
),(
22
yx
、
Q
),(
,,
yx
,因为直线
AQ
、
BQ
与圆
4
22
=+ yx
相切,
所以直线
AQ
的方程为:
4
11
=+ yyxx
,直线
BQ
的方程为:
4
22
=+ yyxx
。又因为点
Q
在
这两条直线上,所以有
4
,
1
,
1
=+ yyxx
,
4
,
2
,
2
=+ yyxx
,则
A、B
都满足方程
4
,,
=+ yyxx
,
且经过
A
、
B
两点的直线唯一,故
AB
所在直线方程为
4
,,
=+ yyxx
,又因为点 在直
线
AB
上,所以
43
,,
=+ yx
,故点
Q
在直线
43 =+ yx
上,而直线
43 =+ yx
与圆
4
22
=+ yx
相交,而点
Q
不在圆内,所以点
Q
的轨迹为直线的一部分。
7、(06 武大)以圆锥曲线的焦点弦为直径的圆和相应准线相离,则此曲线是( )
(A)椭圆 (B)双曲线 (C)抛物线 (D)圆
【答案】
A
( )
1,3P
![](https://csdnimg.cn/release/download_crawler_static/20645180/bg11.jpg)
106
【解析】设
AB
是圆锥曲线的焦点弦,
A
、
B
到相应焦点的距离分别为
21
,dd
,圆锥曲线的离
心率为
e
,则它们到相应准线的距离分别为
e
d
e
d
21
,
,圆心到准线的距离为
2
21
e
d
e
d
d
+
=
,而
圆的半径
2
21
dd
R
+
=
,因为圆和相应准线相离,故
10 eRd
,即对应的圆锥曲线
为椭圆。
8、(07 武大)如果直线
( )
1 0 ,ax by a b R− + =
平分圆
22
: 2 4 1 0C x y x y+ + − + =
的周长,
那么
ab
的取值范围是( )
(A)
1
,
4
−
(B)
1
,
8
−
(C)
1
0,
4
(D)
1
0,
8
【答案】
B
【解析】由题意可知,直线
01=+− byax
经过圆
222
2)2()1( =−++ yx
的圆心
)2,1(−
,
所以
012 =+−− ba
,即
12 =+ ba
,所以
8
1
8
1
)
4
1
(2)21(
2
+−−=−= bbbab
,所以当且
仅当
4
1
=b
时等号成立。所以
ab
。
9、( 11 复旦)设有直线族和椭圆族分别为
,x t y mt b= = +
(
,mb
为实数,
t
为参数)和
( )
2
2
2
1
1
x
y
a
−
+=
(
a
是非零实数),若对于所有的
m
,直线都与椭圆相交,则
,ab
应满足
( )
(A)
( )
22
11ab−
(B)
( )
22
11ab−
(C)
( )
22
11ab−
(D)
( )
22
11ab−
【答案】
B
【解析】注意到直线
y mx b=+
恒过定点
(0,b)
,对所有
mR
,直线与椭圆相交,则当且
仅当
(0,b)
在椭圆的内部,所以
( )
2
2
2
01
1b
a
−
+
,即
22
(1 ) 1ab−
。
10、( 10 同济)若圆
22
4 4 10 0x y x y+ − − − =
上至少有三个不同的点到直线
:0l ax by+=
1
,
8
−
![](https://csdnimg.cn/release/download_crawler_static/20645180/bg12.jpg)
107
的距离为
22
,则直线
l
的斜率的取值范围是。
【答案】
2 3,2 3
−+
【解析】圆的方程为:
2 2 2
( 2) (3 2)y+ − =(x-2)
,
圆心:
2,2( )
,半径为
2r=3
,
若圆上至少有 3 个点到直线的距离为
22d =
,则直线与圆必相交,否则满足条件的点最
多只有两个。
因而只需满足圆心
(2,2)
到直线的距离
1
( ) 2rd − =d
,即
1
2
22
2
(1 )
k
d
k
−
=
+
,
整理得:
2
4 1 0kk− +
。解出即可。
11、( 07 武大)如果直线
1x my=−
与圆
22
:0C x y mx ny p+ + + + =
相交,且两个交点关
于直线
yx=
对称,那么实数
p
的取值范围为。
【答案】
3
,
2
− −
【解析】因为两个交点关于直线
yx=
对称,而这两个交点均在直线
1x my=−
,
所以直线
1x my=−
垂直于直线
yx=
,即有
1m =−
。
设两个交点为 A、B,由垂径定理,AB 中垂线必过 C(C 为圆心),而 A、B 关于直线
yx=
对
称 , 故 C 在
yx=
上 , 得
mn=
, 所 以 圆 的 方 程 为
22
0x y x y p+ − − + =
,即
22
1 1 1
) ( )
2 2 2
x y p− + − = −(
,则
1
2
p
。只要圆与直线
1xy= − −
有两个交点即可,把
1yx= − −
代入方程,有
2
2 2 2 0x x p+ + + =
。
由
=4-4 2 (2 ) 0p +
解得
3
,
2
p
− −
。
12、( 06 复旦)已知曲线
2
2
:1
4
x
Cy+=
,曲线 C 关于直线
2yx=
对称的曲线为曲线
'C
,
曲线
'C
与曲线
''C
关于直线
1
5
2
yx= − +
对称,求曲线
', ''CC
的方程。
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108
【解析】任取
'C
上一点
'( ', ')M x y
,则
'( ', ')M x y
关于直线
2yx=
的对称点
( , )
oo
M x y
在
C 上,从而
''
2
22
'
1
'2
oo
o
o
y y x x
yy
xx
++
=
−
=−
−
解得
34
''
55
43
''
55
o
o
x x y
y x y
= − +
=+
代入曲线 C 方程,得
22
3 4 4 3
' ' ' ' 4
5 5 5 5
x y x y
− + + + =
,化简并由
'M
的任意性,知曲线
'C
的方程为
22
73 72 52 100x xy y+ + =
任取
( , )
oo
M x y
在是 C 上的点,
'( ', ')M x y
是
'C
上的点,
"( ", ")M x y
是
"C
上的点,由
2
1
5
2
yx
yx
=
= − +
,知其交点
(2,4)A
。由
M"M 、
关于
y 2x=
对称,得
AM AM'=
;由
' M"M、
关于
1
5
2
yx= − +
对称,得
AM' AM"=
。又易知直线
y 2x=
与
1
5
2
yx= − +
垂
直,故
'M"M
与直线
y 2x=
平行,从而
1 AM'M" =
。
所以
M'AM" MAM' M'AM" 2 1 M'AM" 2 AM'M" M'AM" 180 = + = + = + =
,
从而
A
为
M"M
的中点,故曲线 C 与
"C
关于点
(2,4)A
对称,所以曲线
"C
方程为
( )
( )
2
2
4
81
4
x
y
−
+ − =
,即
( )
( )
2
2
4
81
4
x
y
−
+ − =
B 组
1、( 08 交大)曲线
( )
2
20y px p=
与圆
( )
2
2
23xy− + =
交于 A、B 两点,线段 AB 的中点
在
yx=
上,求
p
。
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