第一节 最小二乘法的基本原理和多项式拟合
一 最小二乘法的基本原理
从整体上考虑近似函数
)(xp
同所给数据点
),(
ii
yx
(i=0,1,…,m)误差
iii
yxpr )(
(i=0,1,…,m)的大小，常用的方法有以下三种：一是误差
iii
yxpr )(
(i=0,1,
…,m)绝对值的最大值
i
mi
r
0
max
，即误差 向量
T
m
rrrr ),,(
10
的∞—范数；二是误
差绝对值的和
m
i
i
r
0
，即误差向量 r 的 1—范数；三是误差平方和
m
i
i
r
0
2
的算术平
方根，即误差向量 r 的 2—范数；前两种方法简单、自然，但不便于微分运算 ，
后一种方法相当于考虑 2—范数的平方，因此在曲线拟合中常采用误差平方和
m
i
i
r
0
2
来 度量误差
i
r
(i=0，1，…，m)的整体大小。
数据拟合的具体作法是：对给定数据
),(
ii
yx
(i=0,1,…，m)，在取定的函
数类
中,求
)(xp
,使误差
iii
yxpr )(
(i=0,1,…,m)的平方和最小，即
m
i
i
r
0
2
=
m
i
ii
yxp
0
2
min)(
从几何意义上讲，就是寻求与给定点
),(
ii
yx
(i=0,1,…,m)的距离平方和为最
小的曲线
)(xpy
（图 6-1）。函数
)(xp
称为拟合 函数或最小二
乘解，求拟合函数
)(xp
的方法称为曲线拟合的最小二乘法。
在曲线拟合中，函数类
可有不同的选取方法.
6—1
二 多项式拟合
假设给定数据点
),(
ii
yx
(i=0,1,…,m)，
为所有次数不超过
)( mnn
的多项式构
成的函数类，现求一
n
k
k
kn
xaxp
0
)(
,使得
min)(
0 0
2
0
2
m
i
m
i
n
k
i
k
ikiin
yxayxpI
(1)
当拟合函数为多项式时，称为多项式拟合，满足式（1）的
)(xp
n
称为最小二乘
拟合多项式。特别地，当 n=1 时，称为线性拟合或直线拟合。
显然
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