Jensen 不等式：
f
是一个凸函数（convex funcon），
X
是随机变量，则：
E[ f ( X )]≥f ( EX )
(1)
凸函数的性质：
p
1
f (x
1
)+ p
2
f (x
2
)≥f ( p
1
x
1
+ p
2
x
2
) 其中 p
1
+ p
2
=1
式(1)等价于
∑
i=1
n
p
i
f ( x
i
)≥f (
∑
i=1
n
p
i
x
i
) , 其中
∑
i=1
n
p
i
=1
(2)
下面用数学归纳法证明 Jensen 不等式，即式(2)：
a、n=1,2 时，Jensen 不等式显然成立。
b、假设 n=k 时，Jensen 不等式成立，即
∑
i=1
k
p
i
f ( x
i
)≥f (
∑
i=1
k
p
i
x
i
) , 其中
∑
i=1
k
p
i
=1
则，n=k+1 时：
∑
i=1
k +1
p
i
f ( x
i
)=p
k +1
f ( x
k +1
)+
∑
i=1
k
p
i
f ( x
i
)
= p
k +1
f (x
k +1
)+Z
k
∑
i=1
k
p
i
Z
k
f ( x
i
) ， Z
k
=
∑
i=1
k
p
i
≥ p
k +1
f (x
k +1
)+Z
k
f (
∑
i=1
k
p
i
Z
k
x
i
) ， Z
k
+ p
k +1
=
∑
i=1
k +1
p
i
≥f ( p
k +1
x
k +1
+Z
k
∑
i=1
k
p
i
Z
k
x
i
) ，由凸函数的性质可以得到
=f ( p
k +1
x
k +1
+
∑
i=1
k
p
i
x
i
)
=f (
∑
i=1
k+1
p
i
x
i
)
即
∑
i=1
k +1
p
i
f ( x
i
)≥f (
∑
i=1
k+1
p
i
x
i
) ，其中
∑
i=1
k +1
p
i
=1
说明：n=k+1 时，Jensen 不等式成立。
c、综合啊，a，b 可知 Jensen 不等式成立
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