GMM与EM算法详解：从单高斯到混合模型应用

高斯混合模型（GMM）是一种统计建模方法，用于处理复杂的概率分布，尤其在数据集存在多个分布成分的情况下。GMM基于单高斯模型的扩展，它假设数据是由多个高斯分布（每个代表一个潜在类别）的线性组合而成，每个高斯模型都有自己的均值（μ）和协方差矩阵（Σ）。 1. **单高斯模型** (GSM)： - GSM在一维和多维（例如二维）情况下，分别对应概率密度函数，如高斯曲线，描述单一正态分布。对于一维，GSM的PDF简单明了，而在二维及更高维度，图形展示了一个二维高斯分布的形状及其参数对分布的影响。 2. **二维高斯分布**： - 二维高斯分布具有更复杂的形态，它的参数如均值和协方差矩阵决定了分布的中心位置和形状。理解这些参数如何影响分布的形状有助于我们选择合适的模型。 3. **高斯混合模型（GMM）的引入**： - 实际应用中，如老忠实间歇喷泉数据集，单个高斯模型不足以描述数据的复杂分布。GMM通过组合多个高斯分布，用不同的权重表示各个组件的贡献，能够更好地拟合非单峰或多峰的数据。 4. **GMM的概率密度函数**： - GMM的概率密度函数是所有高斯分布权重加权和的形式，每个高斯模型的参数（μi和Σi）由对应的混合比例αi控制，使得模型具备适应多种分布的能力。 5. **EM算法**： - EM算法（Expectation-Maximization）是GMM训练的关键工具，它在参数估计过程中迭代优化模型。EM算法分为两步： - E步（Expectation）：计算当前模型下每个观测值属于每个高斯分量的概率，即后验概率。 - M步（Maximization）：利用E步的结果更新各高斯分量的参数，以最大化似然函数，直到收敛。 6. **EM算法的应用**： - EM算法用于寻找GMM的最优参数，即使在部分观测数据缺失或未标记的情况下也能进行迭代优化，这是因为算法能够在每次迭代中解决隐变量问题。 总结来说，GMM和EM算法结合在一起，提供了一种强大的工具箱，能够处理数据集中可能存在的多重分布结构，广泛应用于数据挖掘、模式识别、机器学习等领域。通过理解GMM的基本概念和EM算法的工作原理，我们可以更好地处理实际问题中的复杂数据分布。