动态规划建模步骤详解：阶段划分、状态变量选择与决策制定

动态规划是一种在数学优化中用于求解最优化问题的方法，特别适用于具有重叠子问题和最优子结构的问题。本文档主要介绍了如何通过动态规划模型解决这类问题的步骤。首先，关键在于划分阶段，即根据问题的时间或空间特性将其分解成多个相互关联的阶段，即使在静态问题中，也需要人为引入时间维度来进行划分。 第二个重要步骤是正确选择状态变量。状态变量的选择必须能够准确描述问题的过程变化，并且必须满足无后效性原则，即上一阶段的状态决定当前阶段的状态，而不会受到后续阶段的影响。通常，从问题的内在逻辑出发寻找合适的状态变量。 接着，决策变量和允许决策集合的确定也至关重要。决策变量通常是需要求解的问题中的关键变量，其取值范围需要明确，形成决策集合，这有助于限制搜索空间，提高效率。 文档举例了求从节点A到E的单向最短路径问题，通过递归分析，将大问题分解为规模较小的子问题，如从B1、B2、B3到E的最短路径，这体现了动态规划的基本思想——自底向上（Bottom-Up）解决问题，通过已知的子问题结果来推导出原问题的解。 在动态规划的应用中，有一些关键条件需要满足，如问题的子问题必须具有重叠子结构，即子问题之间存在部分相同的子问题，以及最优子结构，即问题的最优解可以通过子问题的最优解组合得到。此外，文档还涵盖了动态规划的基本思想、适用条件、典型题型解析以及与其它算法（如贪心算法、回溯法等）的区别和联系。 建立动态规划模型的步骤包括问题定义、阶段划分、状态和决策变量的选择，以及利用这些变量构建递归关系。通过这个框架，复杂问题可以被有效地转化为一系列易于处理的小问题，从而简化求解过程并减少计算量。理解并掌握这些步骤对于有效地应用动态规划在实际问题中至关重要。