动态规划解最长有序子序列

"最长有序子序列-ACM杭电课件之动态规划" 在这个课程中，主要探讨了两个动态规划相关的思考题，一个是“最长有序子序列”，另一个是“计算直线的交点数”。动态规划是一种解决优化问题的有效方法，通过构建状态转移方程或表格，逐步求解问题的最优解。 首先，我们来看“最长有序子序列”问题。这是一个经典的动态规划问题，通常在算法竞赛如ACM中出现。题目描述中给出了一组数字I，并询问穷举（暴力）方法的时间复杂度。对于一个长度为n的序列，穷举方法会检查所有可能的子序列，时间复杂度为O(n^2)，因为它需要比较每对元素来确定是否构成有序子序列。然而，这个问题可以通过动态规划在O(n log n)的时间内解决。动态规划的基本思想是，对于序列中的每个元素，找到当前为止的最长有序子序列，从而避免了重复计算。 接下来是“计算直线的交点数”问题。这个问题同样需要动态规划来优化求解。当有n条直线时，我们不能简单地认为最多有n*(n-1)/2个交点，因为可能存在多条平行线。通过对n=1,2,3的情况分析，我们可以得出一个递推关系。例如，当加入第n条直线时，我们需要考虑它与前n-1条直线的平行、不平行的各种情况。通过归纳，我们可以得到公式：m条直线的交点方案数 = (m-r)*r + r条之间本身的交点方案数，这里的r表示平行线的数量。这个公式帮助我们减少了计算的复杂性，避免了重复计数。 此外，课程还提到了一个“数塔问题”。这是一个寻找最大路径价值的问题，类似于经典的“最长递增子序列”问题，只是二维的。暴力方法虽然可行，但效率低下，动态规划则能提供更优的解决方案。每个节点的选择（向左或向右）可以对应一个状态，通过记录到达每个节点的最大路径值，可以逐步构建出全局最优路径。 总结起来，这两个问题都展示了动态规划在处理复杂计算问题时的威力。动态规划通过分解问题、建立状态和状态转移方程，可以有效地降低问题的复杂度，提高求解效率。在ACM等算法竞赛以及实际编程中，掌握动态规划技巧是至关重要的。