机器人运动学精要：正解与逆解解析

"机器人运动学是研究机器人操作臂运动的学科，关注点在于描述机器人的运动，而不涉及引起运动的力或扭矩。此领域分为前向运动学和逆向运动学，对于理解和控制工业机械臂的行为至关重要。在建模时，通常会用到笛卡尔空间和四元数空间两种不同的坐标系。在两个笛卡尔坐标系之间转换时，可以分解为旋转和 translation。旋转的表示方法多样，包括欧拉角、吉布斯向量、凯莱-克莱因参数、保罗旋转矩阵、轴角、正交矩阵以及哈密顿的四元数。其中，基于4x4实数矩阵的齐次变换（正交矩阵）在机器人学中最为常见，德纳维特和哈滕伯格在1955年提出了一般关节间转换需要四个参数的概念，这些参数后来被称为德纳维特-哈滕伯格参数。\n\n前向运动学是指从关节变量（机器人各个关节的角度）推算出末端执行器在笛卡尔空间的位置和姿态。这对于规划机器人的运动路径和确定其在工作空间中的位置至关重要。计算过程通常涉及将多个连杆的局部坐标系转换到全局坐标系，形成一系列的连杆变换，最终合成整个机器人臂的运动。\n\n另一方面，逆向运动学则相反，它寻求找到一组关节角度，使得末端执行器达到目标笛卡尔位置和姿态。这是一个非线性问题，可能有零个、一个或多个解，取决于机器人的自由度和配置。在实际应用中，如机器人操作或装配任务，逆向运动学用于确定必要的关节运动来精确地定位工具。\n\n四元数空间作为一种高效且避免万向节死锁的表示方式，在机器人学中得到了广泛应用。相对于欧拉角和旋转矩阵，四元数在处理连续旋转时更加简洁，并且避免了 gimbal lock（万向节锁）问题。四元数通过四个分量来表示三维空间中的旋转，这使得它们在进行旋转组合和插值时更加方便。\n\n在设计和分析机器人系统时，理解并掌握前向和逆向运动学是基础。这不仅涉及理论计算，还与实际硬件的限制和性能紧密相关。例如，关节速度和扭矩的限制可能会影响运动规划的有效性。此外，为了实现实时控制，高效的算法和数值求解策略也是必不可少的。\n\n最后，德纳维特-哈滕伯格参数法提供了一种系统性的方法来描述连杆之间的相对位置和方向，简化了机器人运动学的建模。这种方法至今仍广泛应用于机器人学的教学和研究，是理解和解决机器人运动问题的关键工具之一。"