一维全局最优化：基于契比雪夫多项式与半正定规划的ε-全局最小值求解

"基于契比雪夫多项式和半正定规划寻找一维函数在区间内的ε-全局最小值" 这篇论文"Finding ǫ-global Minimum of One-dimensional Function in An Interval Based On Chebyshev Polynomial And Semi-definite Programming"由孙楚仁和黄蕾合作撰写，提出了一种利用契比雪夫多项式和半正定规划来寻找一维函数在给定区间内ε-全局最优值的方法。ε-全局最优值是指函数在指定精度ε下的最优解，即函数值与最小值之差小于或等于ε。 在论文中，作者首先通过插值理论构建了一个美妙的插值多项式Pn(x)，其插值基由二元对(xi, f(xi))构成，其中xi是契比雪夫多项式Tn+1(x)的n+1个零点。关键在于，如果n大于某个与精度ǫ相关的常数M的对数，即n > ln(M/ǫ)，则可以保证插值多项式Pn(x)与原函数f(x)之间的误差不超过ǫ，即|f(x) - Pn(x)| ≤ ǫ。 接下来，作者将寻找f(x)在[a, b]区间内的ε-全局最小值问题转化为寻找Pn(x)在[a, b]内的全局最小值问题。这个转化的关键是，他们展示了这个问题可以被转换成一个半正定规划问题。半正定规划是一种凸优化问题，它在数学优化领域中有成熟的算法和求解工具，如内点法和 barrier 方法，这使得该问题可以有效地解决。 论文中的这种方法提供了一个理论框架，对于寻找一维全局最优化问题的近似解，尤其是在计算资源有限的情况下，具有重要的实用价值。通过利用契比雪夫多项式的特性，可以得到高度精确的插值，而半正定规划的运用则确保了问题的数值稳定性及求解效率。这种方法不仅可以用于学术研究，也可应用于工程、经济以及其他需要解决优化问题的领域。 这篇论文贡献了一种新的求解一维全局最优化问题的方法，结合了经典数学工具（契比雪夫多项式）和现代优化技术（半正定规划），为处理实际问题中的优化挑战提供了新的思路。