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理解渐近分析:关键技巧与应用概述
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更新于2024-08-02
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"《渐近分析I》教程概览 渐近分析是数学分析中的一个重要分支,主要关注在研究问题规模增长时,函数行为的长期行为和精确度的估计。本教程由凯泽斯劳滕大学数学系的Jens Struckmeier教授设计并主持,其目标是介绍和实践基本的渐近分析技术,以便学生深入理解这一领域。 教程内容涵盖以下几个关键主题: 1. 简单算子在实数集中的应用:这部分介绍了基本的数学运算在处理大型或极限情况下的行为,比如极限运算和级数展开。 2. 渐近展开:这部分重点讲解如何通过泰勒级数或其他方法来近似复杂函数在某一点附近的极限行为,以及这些展开在数值计算和理论分析中的作用。 3. 积分的渐近展开:探讨如何通过积分变换或特殊函数理论求解极限过程中的积分问题,这对于解决物理、工程和统计学等领域的问题至关重要。 4. 偏微分方程的摄动方法:介绍如何通过摄动理论处理那些难以直接解析解的偏微分方程,通过对参数或边界条件的小变化进行分析,获得解的近似表达。 5. 奇异摄动匹配:这是一种处理特定类型边界条件或极限情况的技巧,通过将问题分解成可处理的部分,解决原本困难的问题。 为了更好地理解和完成教程中的习题,读者应具备普通微分方程和偏微分方程的基本求解技术,包括线性与非线性方程的解析解法和数值方法。每节内容都包含对讲座讨论主题的简要回顾,帮助复习和巩固所学知识。 此外,附录中提供了参考文献列表,以便进一步深入研究渐近分析的最新研究成果和历史背景。通过本教程的学习,学生不仅能够掌握渐近分析的基本工具,还能提升解决问题的策略和技巧,对于从事科学研究或工程实践的学生来说,这是一项必不可少的技能。"
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Using equation (3) weget
"Y
3
+(1
;
3
"
)
Y
2
+2
"Y
=0
If we compare the p owers in
"
it is obvious that wehavetochoose an asymptotic
expansion in the form
X
=
;
1+
"
1
=
2
X
1
+
:::
Furthermore wehave the relation
X
2
1
;
2=0
This means that wehavetwo solutions
X
(1)
1
=
;
p
2
X
(2)
2
=
p
2
It follows that the rst two terms of the rst two ro ots of equation a) are given by
x
(1)
=
;
1
;
p
2
"
1
=
2
+
O
(
"
)
x
(2)
=
;
1+
p
2
"
1
=
2
+
O
(
"
)
Consider now the scaling
=
1
"
.
We end up with the equation
X
3
+
X
2
+(2+
"
)
X
+
"
2
=0
and
X
=
;
1+
Y
(
"
)
The equation for
Y
(
"
) reads
Y
3
+2
Y
2
+(1+2
"
)
Y
;
2
"
=0
If we compare the powers in
"
we get
X
=
;
1+2
"
+
O
(
"
2
)
Therefore the rst two terms of the third root are given by
x
(3)
=
;
1
"
+2+
O
(
"
2
)
Case b):
Weinvestigate again the scaling
1, where the corresponding equation is given by
"X
3
+
X
2
+(2
;
"
)
X
+1 = 0
9
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We know that the expansion has the form
X
=
;
1+
Y
(
"
)
with
Y
(
"
)
!
0if
"
!
0.
Taking
X
2
= 1
;
2
Y
(
"
)+
Y
2
(
"
)
X
3
= 1+3
Y
(
"
)
;
3
Y
2
(
"
)+
Y
3
(
"
)
one gets
"Y
3
+(1
;
3
"
)
Y
2
+2
"Y
=0
for
Y
(
"
).
In contrast to case a) wenowhave the asymptotic expansion
X
=
;
1+
"X
1
+
O
(
"
2
)
where
X
1
is the solution of
X
1
(
X
1
+2) = 0 (4)
It follows that the rst two terms of the rst root are given by
x
(1)
=
;
1+2
"
+
O
(
"
2
) (5)
The second solution of equation (4) says that their is now perturbation of the order
"
. But we already know that it is not p ossible to haveany perturbation of the order
"
h
with
h>
1. Therefore the root
x
(2)
=
;
1 of the unp erturbed problem must be
also a root of the p erturbed equation for all
"
2
IR
. This may be simply veried by
substitution.
We consider the scaling
1
"
.
The corresp onding equation reads
X
3
+
X
2
+(2
;
"
)
X
+
"
2
=0
With the
Ansatz
X
=
;
1+
Y
(
"
)
the equation for
Y
(
"
)gets
Y
3
;
2
Y
2
+(1+2
"
;
"
2
)
Y
+2
"
2
;
2
"
=0
We get the same as in case a), namely
x
(3)
=
;
1
"
+2+
O
(
"
)
10
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