概率论基础：样本点的互斥与独立事件解析

"概率论与数理统计课程涵盖了随机现象的数量规律，包括概率论的基本概念如随机试验、样本空间、概率定义、等可能概型、条件概率和独立性。此外，还涉及随机变量及其分布（离散型和连续型）、多维随机变量、数字特征（数学期望、方差）、大数定律、中心极限定理、数理统计基础（总体、样本、参数估计、假设检验）、方差分析、回归分析、随机过程（如泊松过程和维纳过程）以及马尔可夫链和平稳随机过程等。" 在概率论中，样本点是指随机试验所有可能结果的集合中的每一个成员。当说样本点是两两互不相容时，这意味着这些结果之间不能同时发生，即一次试验只能出现一个结果，而不可能同时出现两个或多个。例如，抛一枚公平的硬币，样本点有两个：正面（H）和反面（T），这两个结果是互不相容的，因为一次投掷不可能同时出现正面和反面。 随机事件A和B的交集AB表示A和B同时发生的事件。P(AB)代表这个交集发生的概率，而P(B|A)是条件概率，表示在事件A已经发生的情况下事件B发生的概率。两者通常不同，除非A和B是相互独立的事件。事件A和B相互独立意味着A的发生不影响B的发生概率，反之亦然，即P(AB) = P(A) * P(B)。 对于n个事件A1, A2, ..., An的相互独立，意味着任意两个事件Ai和Aj（i ≠ j）都是独立的，同时每个事件Ai的发生都不影响其他所有事件的发生概率。 如果事件A和B相互独立并且P(A)和P(B)都不为零，那么A和B可以同时发生，但它们互不相容则意味着A和B不能同时发生。例如，考虑一个袋子中有两种颜色的球，红色和蓝色，若抽取一个球后不放回，第一次抽到红色（事件A）和第二次抽到蓝色（事件B）可以是独立的，但它们不能同时发生，因为第一次抽到红色后，袋子里就没有红色球了，所以第二次不可能再抽到红色。 当A和B独立时，P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(AB) = P(A) + P(B) - P(A) * P(B)。而当A和B互不相容时，A∪B表示A或B至少发生一个，由于它们不能同时发生，所以P(A∪B) = P(A) + P(B)。