扩展卡尔曼滤波器（EKF）：非线性系统的最优估计

"扩展卡尔曼滤波器EKF-卡尔曼滤波器分类及基本公式" 扩展卡尔曼滤波器（EKF）是卡尔曼滤波器的一种扩展形式，专门用于处理非线性系统的滤波问题。在传统的卡尔曼滤波器中，系统模型和测量模型都是线性的，而实际中的许多系统往往具有非线性特性，因此EKF应运而生。EKF通过线性化非线性系统模型，使其近似符合卡尔曼滤波的框架，从而实现对非线性系统的最优估计。 非线性系统模型可以用以下形式表示： 其中，\( x_k \) 表示系统在时间 \( k \) 的状态，\( f(x_k, u_k) \) 是非线性状态转移函数，\( u_k \) 是控制输入，\( w_k \) 是系统噪声，通常假设它是零均值的高斯白噪声。在时间 \( k \) 已获得状态 \( \hat{x}_k \) 的滤波估计后，EKF会对状态转移函数 \( f \) 和测量函数在 \( \hat{x}_k \) 附近进行泰勒级数展开，保留一阶项，形成线性化版本，以近似原非线性模型。 EKF的基本步骤包括以下五个部分： 1. **预测更新**：利用线性化的状态转移函数预测下一个时间步的状态估计 \( \hat{x}_{k|k-1} \) 和预测误差协方差 \( P_{k|k-1} \)。 2. **测量更新**：根据实际测量值 \( z_k \) 和线性化的测量函数计算残差，并更新状态估计 \( \hat{x}_k \) 和误差协方差 \( P_k \)。 3. **线性化**：在每个时间步，都需要对状态转移函数和测量函数在当前状态估计处进行线性化。 4. **增益计算**：根据线性化的系统和测量模型，计算卡尔曼增益 \( K_k \)，它反映了测量对状态估计的影响程度。 5. **状态更新**：利用卡尔曼增益调整预测状态，得到最终的滤波后状态估计。 卡尔曼滤波器是一种在随机信号处理中非常重要的工具，尤其在估计理论中占据核心地位。它基于最小均方误差准则，提供了一种最优的估计方法，即使在存在噪声的情况下，也能有效地从一系列观测数据中提取出信号的真实信息。卡尔曼滤波器的思想最初由鲁道夫·卡尔曼在1960年的论文中提出，它不仅适用于线性系统，通过扩展形式如EKF，也能应用于非线性系统，广泛应用于航空航天、导航、自动驾驶、传感器融合、信号处理等多个领域。