矩阵环导数的性质与表达式

本文主要讨论的是环上矩阵环的导子在1993年的研究进展，由邓清教授发表在《数学研究与评论》上。环R被假设为具有单位元的环，其上定义的导子是一种满足特定性质的线性映射，即对于环R中的元素X和Y，导子d满足d(XY) = d(X)Y + Xd(Y)。在这个背景下，研究焦点在于四阶全矩阵环Rn的导数性质。 论文的核心内容包括两个引理。第一个引理指出，如果d是Rn上的导子，那么d对单位矩阵Eij的操作可以分解为特定形式，即d(Eij)的结构取决于d对其他元素的导数，特别是与Eij自身位置相关的元素。当i不等于j时，d(Eij)的第4行元素与d(Ejj)的第j行元素对应，第j列元素与d(Ei, j)的第i列元素对应；当i等于j时，d(Eij)的第4行和第j列可能只有零元素。 第二个引理更进一步，给出了导子d作用于乘以元素x的单位矩阵xE的具体表达式。这个表达式显示，对于每个x，d(xE)的矩阵形式可以通过将d(Ei, j)的特定元素替换为相应的线性组合得到，其中第t行的元素来自于xE的第z行元素与d(Ej)的相应元素的乘积，而第j列的元素则是这些元素的相反数。 这篇论文深入探讨了环上矩阵环导子的结构，揭示了它们如何通过基础矩阵元素来确定，这对于理解环上导子的运算规则和性质具有重要意义，也为后续的矩阵理论研究提供了基础。通过这两个引理，作者展示了导子在矩阵代数中的具体表现形式，并为进一步探索矩阵环的导数理论奠定了坚实的基础。