双参数Mittag-Le Bücher函数半群性质的无效性

↑=--α，βk=0<$（αk+β）Journalof the Egyptian Mathematical Society（2016）24，200埃及数学学会埃及数学学会会刊www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate原创文章关于双参数Mittag-Le Bücher函数半群性质的无效性S.K. 埃拉甘河a埃及，Shebin Elkom 32511，梅诺菲亚大学，理学院，数学系b塔伊夫大学理学院数学和统计系，塔伊夫，哈威亚，P.O. Box 888，21974，Saudi Arabia接收日期：2015年2月9日;修订日期：2015年4月14日;接受日期：2015年5月17日2015年6月15日在线发布摘要它表明，以下属性E α，β。a（ s+t）αβ<$=Eα，β（ asαβ） Eα，β（ atαβ）， s， t≥0，a∈ R，α，β> 0（1）只有当α β1，和α0，β 1或β2时才为真。此外，还建立了Eα，β（在αβ处）上的一个新等式，其极限状态为α1且β> α正是上述性质（1），若β1，则结果与文[16]相同。此外，还证明了这个等式是函数tβ−1Eα，β（ atα）的特征。最后证明了当β=1时，文[16]中的所有结果都是我们结果的特例数学科目分类：34A12版权所有2015，埃及数学学会. Elsevier B. V.制作和托管这是CC BY-NC-ND许可证下的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。1. 介绍由于研究人员地 址 ： Department of Mathematics and Statistics ， Faculty of Sci-ence，Taif University，Taif，El-Haweiah，P.O.888信箱，21974，沙特阿拉伯。电子邮件地址：sayed_khalil2000@yahoo.com同行评审由埃及数学学会负责制作和主办：Elsevier最近，Le Scholer函数引起了科学界的兴趣。本卷集中于Mittag-Le Schlinger函数的理论，从相当初级的材料到最新的研究成果，都作了完备的、全面的论述。除了理论之外，作者将工作的某些部分用于应用，处理粘弹性、物理学、流体力学、扩散和波动现象以及随机学中的各种情况和过程。特别是Mittag-Le Schlier函数允许我们描述过程中的现象，这些过程的进展或衰减太慢，无法用经典函数（如指数函数及其后继函数）来表示。双参数在复x平面C中由yE（z）=.∞zK，当α>0是参数，α是Gamma函数[1]。S1110-256X（15）00033-4 Copyright 2015，Egyptian Mathematical Society.制作和主办：Elsevier B.V. 这是一篇基于CC BY-NC-ND许可证的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2015.05.003关键词函数; Caputo分数阶导数;半群性质=-β（β）--.Σ=-.−k−1k^<$Df（t）（λ）=λf（t）−λf（0），其中 n−12=-=---不不21=+==-==-=-.=α，β（），α，β（）222关于双参数Mittag-Le Schlinger函数半群性质的无效性它最初由Mittag-Le Günier于1902年提出显然，指数函数ez是具有指定参数α β 1的特定近年来，由于它的许多性质已被证明（见，例如，[9在本文中，我们证明了以下性质：Eα，β a（ s+t）αβ=Eα，β（ asαβ） Eα，β（ atαβ）， s， t≥0，a∈R和α，β>0只有当α=β=1，且a=0，β= 1或β=2时，更多-如果我们设置s=t=0，我们可以写Eα，β（0）=Eα，β（ 0）Eα，β（ 0）。已知E α，β（0）1，得到β（β）1意味着β1或β2.所以如果一个0则（1）对β为真1或β2，这是唯一的条件，因此我们可以说，对于任何a∈R和α，β>0，等式（1）可能是真的，只有当β=1。因此，让我们假设ai = 0，并且a（β）=1。从（1），如果我们让s=t，则（1）变为E α，β（a（2 s）αβ）= E α，β（as αβ）E α，β（as αβ）=.Eα，β（ asαβ）设z=sαβ，则上述方程变为在此基础上，建立了Eα，β（在αβ处）上的一个新等式，其极限状态为α↑1，β> α正是上述性质（1），若β=1，Eα，β（az2αβ）=（Eα，β（az））2为所有z≥0。（二）[16]这是一个类似于[17]的概念。最后，证明了这个等式是函数tβ−1Eα，β（ atα）的特征。为此目的，需要Mittag-Le Bauer函数和Caputo分数导数的以下性质(P1)（参见[17，公式（2.140）]）Caputo导数的Laplace变换n−1αα α不k=0我们对（2）进行微分，并设置z=0。这给α2αβ2α<$（α+ β）=<$（β）<$（α + β）。这意味着2αβ2.因此，αβ1.如果β1，则α1和E α，β（z）因此，（1）是真的。现在假设β2.然后是α1。如果我们关于z对（2）进行两次微分，并设置z0，我们得到：<α≤n，8a22a24a2D^αf（t）（λ）和λαf（t）表示D αf（t）和f（t）。(P2)（参见[12，第287页]）Mittag-Le Bauer函数的拉普拉斯变换（2 α + β）=（2 α+ β）2+（2 α + β）其中，β=2，α=1，∞e−λttβ−1E0其中Reα，β（atα）dtλα−β=λα−a， Reλ> aα，a>0，四三二，9π这不是真的因此，（1）仅当α=β=1时成立，λ表示复数的实部λ。2. 解函数的一个新的等式特征在本节中，我们首先展示以下一般性质和0，β1或β2。通过Caputo导数的定义，明确了在非整数阶α的情况下，CaputoCaputo导算子的记忆性这似乎告诉我们，任何平等的关系，E α，β。a（ s+t）αβ<$=Eα，β（ asαβ） Eα，β（ atαβ）， s， t≥0，aαβE处的E作为αβ和Ea s+tαβ应该是一种...∈R和α，β>0（1）是错误的，为了说明这一点，提供一个反例就足够了。通过使用事实E（ z2）=（ez+e−z）=coshz，对理论，因此可以用积分来表征。下面定理中所述的等式关系是上述思想的结果，它是[16]中定理1的推广则初等计算表明（1）不成立定理2.1。 对于每一个实数a，这是因为在α_2、β _1、α_t_1的选取上，（1）输出为（sinh 1）2。因此，（1）作为一般性质，错误。其次，我们证明了（1）只在α=β=1时成立，不（t−τ）β−α−1f（ s+τ）dτ=α（β−α）st0不（s+t−τ）β−α−1f（τ）dτ−α−1a=0，β= 1或β=2，为此，令+（1−α）0f（τ1）f（τ2）（t+s−τ1−τ2）dτ2dτ1，（三）∞kEα，β(z)z.（αk+β）其中t，s≥0且f（ t）=tβ−1Eα，β（α）。k=0证据 设0 <α<1，β> 1，a> 0. 德费恩我们想找到所有α，β>0，a∈ R，∞k k1∫∫∫α，β（））00Eα，β. a（ s+t）αβ=Eα，β（以αβ计）Eα，β（在αβ处），s，t ≥ 0。f（ t）=tβ−1E α，β（在α）=.k=0a tα+β−. Q（kα+β）不不不dλ- 是的.Σα−βλ∫dτdτ。122（，）=（β−α）（ +（τ）τ，Σ∫202 S. K. 埃拉甘那么它的Caputo衍生物满足了tβ−α−1证据我们对两个变量s， t≥0的函数f（ s， t）使用二维拉普拉斯变换，定义为：Dα f（ t）=af（ t）+.（β−α）f（λ，μ）=∫∞∫∞e−λs−μtf（s，t）ds dt. Q现在0 0如果（s+t）β−α−11Dα f（ s+t）=af（ s+t）+伊什×0（β−α）−−αdf（τ）（1−α）|≤Ce w 1 s + w 2 t|≤ Ce w1 s+w2 t对于s，t ≥ 0，定义了nf_n满足λ >w，μ > w。我们会使用前翼规则：通过按部分积分，（s+t）β−α−1t−α f（ s）α(1) f（ s， t）=g（ s+t）的拉普拉斯变换为g（μ）−g（λ）Dα f（ s+t）=af（ s+t）+伊什0（β−α）−α−1-α（1−α）+ （1−α）f（λ，μ）=−、μ−λ×（s+t−τ）f（τ）dτ。其中g是g的一维拉普拉斯变换。如果λ=μ右边必须是replacedby−dg（λ）。应用关于t的拉普拉斯变换，我们得到.（s+t）β−α−1ππ(2) 如果斯瓦特=0λαfs（λ）−λα−1f（s）=afs（λ）+（β−α）-λα−1f（ s）h（ s， t）0f（τ1，τ2）g（ s−τ1，t−τ2）dτ1dτ2，这简化为αs+（1−α）0（s+t−τ）−α−1ππ f（τ）dτ。然后h<$（λ，μ）=f<$（λ，μ）g<$（λ，μ）.（λα−a）fs（λ）=（s+t）β−α−1<$（β−α）α+α（1−α）(3) 如果阿勒特−一群人。0（s+t−τ）−α−1ππ f（τ）dτ。h（ s，t）=然后f（ s， tτ）g（τ） dτ，0我们将其改写为（β− α）λα−βf（s+t）β−α−1<$λα−βλα−a+α（β−α）s（1−α）0h<$（λ，μ）=f<$（λ，μ）g<$（μ）.现在设f：[0，∞）→ R是一个连续函数，×λα−a. （s + t − τ）−α−1f（τ）dτ.满足形式重量现在我们用它|≤Ce，|≤ Ce for t≥0，w∈ R.（四）fs（λ）=λα−β。α当λ > w时，定义了L a空间t对f∈（λ）的遍历. 让α∈（0，1）且β> α。 假设以下等式λ−a因此，通过应用逆拉普拉斯变换，持有f1（s， t）−f2（s， t）−f3（s， t）=f4（s， t）对于s，t≥0，（5）其中ttβ−α−1f sd−阿勒特S不+β−α−1fdα（β−α）（τ）0（+τ）τ=（0斯瓦特-τ）（τ）τ+（1 −α）−α−11（β−α）S+t0（s+t−τ）β−α−1f（τ）dτ×00f（τ1）f（τ2）（t+s−τ1−τ2）dτ2dτ1。FSt1吨0β−α−1f df（s，t）=1（s+t−τ）通过解析延拓可以看出，这个公式是-τ）×∞ →3（，）=（β−α）0（ +（τ）τ，当0<α 1和β> α时，mains为真。如果β=1，则结果为FSt1秒β−α−1f d现在我们得到了主要结果。f s tαstf f t s00−α−1dD.定理2.2.让 f：[0，）R是连续函数满足重量4（，）=（1−α）根据规则第（1）条，（τ1）（τ2）（+-τ1−τ2）τ2τ1|f（t）|≤Ce对t≥0，w∈ R，等式（3），则fα−βˆα−βˆλ必须等于tβ−1Eα，β（在α处）。f1（λ，μ）=f（λ）−μμ−λf（μ）。与[16]相同。-τ）−f=--↑==-=h.关于双参数Mittag-Le Schlinger函数半群性质的无效性根据第（1）及（3）条，λα−βμα−β（λ，μ）=f（μ），本文还证明了上述性质是不成立的，除非α β 1，且α 0，β1或β2.而且建立了关于Eα，β（在αβ处）的一个新的等式，其极限状态为2f3（λ，μ）=μ−λμα−β−λα−βfλ−μ（λ）。α1和β> α正是上述性质（1）。也证明了如果β1，则等式与[16] 中的等式相同。 最后，证明了这个等式是函数tβ−1Eα，β（ atα）的特征。根据第（1）及（2）条，f<$λα−μαf<$f.引用4（λ，μ）= −μ−λ（λ）（微米）[1] I. 张文，分数阶微分方程，北京：科学出版社，由（5）可知，f<$1（λ，μ）−f<$2（λ，μ）−f<$3（λ，μ）=f<$4（λ，μ）for λ，μ > w。如果我们用我们的前一个单元a代替（5）中的fμα−βf<$（λ）−λα−βf<$（μ）=（μα−λα）f<$（λ）f<$（μ）。（六）如果f（ t）=0，则（5）成立。否则就μ > w使得f∈（μ）/=0。则（6）通过求解f∈（λ）得到sλα−β（λ）=λα−a，纽约，1999年。[2] 通用汽车Mittag-Le Chier，Sur l'intégrale de Laplace-Abel，CRAcad. Sci. Paris（Ser. II）136（1902）937-939.[3] G. Jumarie ， Laplace 通 过 Mit- tag-Le Bauer 函 数 和 修 改 的Riemann-Liouville 导 数的 分 数阶 变 换， 应 用数 学 Lett 。 22（11）（2009）1659-1664。[4] D. Matignon，分数阶微分方程的稳定性结果及其在控制处理中的应用，在：IMACS-SMC Proceedings，Lille，France，1996年7月，pp.963-968[5] M. Moze，J. Sabatier，A. Oustaloup，分数阶系统稳定性的LMI 表 征 ， 在 ： J. Sabatier ， O.P. Agrawal ， J.A. Ten- reiroMachado （ Eds. ） ， Advances in Fractional Calculus ，Springer ， Berlin ， Dordrecht ， The Netherlands ， 2007 ， pp.419-434[6] Z.M.张文，等，分数阶微分方程组的解析研究，北京大学出版社，2000。Math.Appl.59（2010）1171-1183。[7] B. Bonilla，M.李文，常系数线性分数阶微分方程组，应用数学学报，2001。数学COM-哪里a=μαμα−β-f（μ）。放。187（1）（2007）68[8] R. Figueiredo，E.卡佩拉斯岛Jayme，关于广义（2012）1[9] Y.李彦秋陈岛，澳-地Podlubny，Mittag-Le Schlinger分数阶非线性动态系统的稳定性，Automatica 45（2009）我们知道函数的拉普拉斯变换h（ t）= tβ−1 Eα，β（ atα）是λα−β（λ）=λα−a因此，它遵循F H。这表明，从平凡解f（ t）0的一部分，（5）的唯一解是f（ t） h（ t）。备注2.1.定理2.2表明，每个特征函数f满足以下形式的估计：|f（t）|≤Cewt为 t≥0，w∈ R，且满足等式（3）必须是1965-1969.[10] G. 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