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x+1Journal of the Egyptian Mathematical Society 25(2017)197原创文章无界区域上高阶常微分方程的指数Chebyshev第二类逼近及其在Dawson积分中的应用Mohamed A.卡迈勒·拉马丹Raslanb, Talaat S.作者声明:David C. Abd El Salamb,a埃及,Shebein El-Koom,Menou fia大学,理学院,数学系b埃及开罗纳赛尔城爱资哈尔大学理学院数学系c沙特阿拉伯麦地那Munawwarah Taibah大学数学和统计系Ar t iclei n f o ab st r act文章历史记录:2016年5月17日收到2016年6月21日修订2016年7月3日接受2016年7月18日在线发布保留字:指数第二类Chebyshev函数高阶常微分方程配置法道森研究了基于第二类Chebyshev多项式(ESC)的导数的指数Chebyshev运算矩阵.导出并引入了一种新的ESC函数导数运算矩阵,用于用配置法求解无界区域上的变系数高阶线性常微分方程.作为应用,本文给出了求解Dawson积分微分方程的方法。Dawson积分对应的微分方程是一个条件趋于无穷的边值问题。所得数值结果与精确解进行了比较,显示出良好的精度。© 2016埃及数学学会. Elsevier B. V.制作和托管这是CC BY-NC-ND许可下的开放获取文章。(http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/)的网站上进行了介绍。1. 介绍近年来,谱方法在微分方程数值解中得到了迅速的发展。与其它数值方法相比,谱方法具有很高的精度,在许多数学问题和物理现象中有着广泛的应用。谱方法的主要思想是用正交多项式的截断级数逼近微分方程的解。用于求解常微分方程(ODE)的最常见的谱方法是τ方法、配置方法和Galerkin方法。Siyyam[1]采用Laguerre tau方法求解常微分方程,而Parand和Razzaghi[2]采用同样的方法,用同样的方程,但用有理Legendre作为基函数。Guo等[3]和Wang等[4]采用Legendre配置法求解初值问题,Awoyemi和Idowu[5]采用混合配置法求解三阶常微分方程。Galerkin方法也用于求解常微分方程[6,7]。多哈等人使用了广义的Ja-[11 - 12]解常微分方程的cobi多项式[8Chebyshev多项式是最重要的正交多项式之一,广泛应用于谱方法[12]。切比雪夫第一类Tn(x)是有限区间[-1,1]上的正交多项式,这些多项式在数值分析中有许多应用[12],许多研究表明,它们在流体力学中的各种应用的优点。切比雪夫多项式的应用之一是求解具有初始和边界条件的常微分方程,并带有配置点[13,14]。在有限区间[0,1]上的许多研究都是借助于通常的变换将Chebyshev映射到移位Chebyshev多项式。因此,在将区间[-1,1]映射到半无限域[0,∞)的变换下,一些研究小组成功地应用谱方法来求解微分方程[15. x−1∗通讯作者。电 子 邮 件 地 址 : ramadanmohamed13@yahoo.com ( 硕 士 ) Ramadan ) ,kamal_raslan@yahoo.com ( K.R.Raslan ) , talaat11@yahoo.com ( T.S.El Danaf ) ,mohamed_salam1985@yahoo.com(M.A.Abd El Salam)。http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2016.07.001此外,Koc和Kurnaz[27]提出了一种修改类型的Chebyshev多项式作为实域中定义的偏微分方程的解的替代。 在他们的研究中,基函数称为指数切比雪夫(EC)函数En(x),它们在(−∞,∞)中正交。这种1110- 256 X/© 2016埃及数学学会。Elsevier B. V.制作和托管这是CC BY-NC-ND许可下的开放获取文章。(http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/)的网站上进行了介绍。可在ScienceDirect上获得目录列表埃及数学学会期刊首页:www.elsevier.com/locate/joemsRn(x)=Tn.(一)198M.A. Ramadan等人/Journal of the Egyptian Mathematical Society 25(2017)197.Uh(x)=aE(x),(9)i.n(x)aE(x),(10)=i.拉克什(x)aE(x)=i..nnIJ...Σ−.nex+1dkφ(k)。B(k)U我i=0时ΣEU(x)−EU=我ex+1n2n+1n−1可拓学处理的是整个实域上的问题。EC功能定义为E(x)=Te−1.(二)ESC函数的乘积关系也由下式给出:.X轴.X轴e−1 E(x)=1[E U(x)+E U(十)](8)在我们以前的报告[28]中,我们介绍了一种修改后的形式,通过处理截断的导数的运算矩阵[27]在《易经》中,有一种说法是:“万物皆有灵”,“万物皆有灵”。最近,我们报道了一个新的EC函数的导数运算矩阵,用于求解无界区域中的常微分方程[29]。本文引入了一个新的基于指数Chebyshev第二类(ESC)函数的导数运算矩阵,并利用它用配置法求解无界区域上作为本文方法的一个应用,我们通过求解Dawson积分的微分方程,在约束条件趋于无穷的情况下,求出了Dawson积分的近似解。本文考虑高阶线性非齐次微分方程,.2.3. ESC功能方面的功能扩展函数h(x)在区间(−∞,∞)上定义良好,可在ESC功能方面进行扩展,∞我i=0时哪里a2∞E U(x)h(x)w(x)dx。π−∞i如果表达式(9)中的求和被截断为N,其中N<∞它采用以下形式NU我k=0qk(x)φ(k)(x)=f(x),−∞x∞,(3)<0,0 1.e x−1ex+1nk=0n(十四)nn+1ex+1n−1其中,[2]表示值2的整数部分。Mn(十一)EU(x)=2(十). n≥1(6)M.A. Ramadan等人/Journal of the Egyptian Mathematical Society 25(2017)197199ex+1n.EU(x),EU(x)=EU(x)EU(x)w(x)dx=L如果我们在ESC函数中使用表达式v(x)=ex−1,我们2.2.ESC函数是正交的,可以用v(x)的幂来显式地表示为:ESC函数在区间(−∞,∞)中关于权重函数w(x)正交,权重函数w(x)由4e3x/ 2(ex+ 1)−3给出,正交条件为EU(x)=[n/2]k=0(−1)k2n−2k.n−kK(v(x))n−2k,(15)..∫∞πnM−∞nM2通过简单的修改,我们可以定义:如果n是偶数其中,δnm 是Kronecker delta函数,(,)是内部E U(x)= E U(x)=.(−1)l−j22j.l+j (v(x))2j,(16)乘积表示法n2lj=0l−jδnm,(7)200M.A. Ramadan等人/Journal of the Egyptian Mathematical Society 25(2017)197.Σ.Σ⎢⎥⎢==(x)=1,⎢..................⎥Ll−10ΣΣ−⎢⎥−不0 1N- 是的- 是的 - 是 的ΣΣ==−φ(k)(x)0如果n是奇数,.n2L+1j=0.l+j+1l−j[φ(x)]=E(x)A,(21)和EU(x)=EU(x)=(−1)l−j22j+ 1(v(x))2 j+1。 (十七)由上述关系式可以导出ESC的一般矩阵形式用作E(x)=V(x)MT,(18)其中E(x)和V(x)是两个矩阵,其形式为:U U U哪里E(k)(x)= E U(x)(k)E U(x)(k)。. . EU(x)(k),A=[a0a1. . . a N],和E U(x),E U(x),. . . 、.中,E U(x)是ESC函数,并且a0,a1,E(x)=[E0(x)E1(x). . . EN(x)]V(x)0 1N=[v(x)v(x). . . v(x)]0 1n和. . . 、.中, aN是要在表达式(20)中确定的系数。因此,矩阵E(x)的导数定义为:根据公式(19)和公式(22),可以得到:v0v1.e x−1ex+1[φ(k)(x)]=V(k)(x)MT A,(23)哪里v2(x)=ex−12ex+1,,vn(x)=ex1n、ex+1V(k)(x)=[(v0(x))(k)(v1(x))(k). . .(vN(x))(k)]。M是下三角(n+1)×(n+ 1)常数矩阵,由下式给出:- 是的0000。 . .00⎤002- 是 的 Σ−1.1Σ000。. .00. Σ⎥(1) 201⎢0 222.Σ0的情况。. .00. Σ⎥M=00(1)2110 233000米。(−1)l20.l<$0(−1)l−122.l+10。 . . 22升。2升,0升,0(−1)l21.l+1<$0(−1)l−123.l+2π。 . .022l+1。2L+1Ln在这种情况下,我们将使用最后一行的奇数值n=2l+ 1,否则(n=2l)前一个将是矩阵M的最后一行。现在,从(18)我们可以获得矩阵E(x)的(k)阶导数,如下:E(0)(x)=V(x)MT,l−1 0现在,让我们定义搭配点如下,其中−∞xi∞,<
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cpongm
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