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−−理论计算机科学电子笔记225(2009)239-244www.elsevier.com/locate/entcs具有一系列Chebyshev多项式的离散分数阶微积分宫田津弥子1大坂大学大学院邮编:565-0871摘要本文尝试用切比雪夫级数展开法求分数阶导数。本文讨论了用无穷求积法则估计Riemann-Liouville型分数阶导数关键词:分数阶导数,切比雪夫级数展开,求积公式1引言当0<α 1时,Riemann-Liouville型分数阶导数的定义写为:1吨(一)Dα f(t)=Γ(1α)D0(t − τ)−αf(τ)dτ。t−α1吨(二)Dα f(t)=Γ(1-α)f(0)+Γ(1α)0(t−τ)−αDf(τ)dτ,其中Df表示f的一阶导数。我们尝试将上述积分计算为f(x)的α阶导数。1电子邮件:miyakoda@ist.osaka-u.ac.jp1571-0661/© 2008 Elsevier B. V.根据CC BY-NC-ND许可证开放访问。doi:10.1016/j.entcs.2008.12.077240T. Miyakoda/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 225(2009)239∫N−1N∫Σc}。KK2KK2N2<$T(t)dt=Tk+1(t)−Tk−1(t)+C,(k≥2),2NN2无限求积公式对于充分光滑函数与特殊函数的乘积的有限积分,Hasegawa et al. [1][2]提出了当特殊函数具有以下类型时,|t − c|α。整合(三)yQ(x,y,c)=X|αf(t)dt,−1≤x,y,c≤1,x≤y,α>−1|αf (t) dt,−1≤ x, y, c≤ 1, x ≤ y, α> −1考虑了我们将第k个切比雪夫多项式记为Tk(t),并写为:(四)f(t)JJ(t)=k=0aN T(t)=1a+aNT(t)+1aNTk=1(吨)这给出了以下近似积分y(五)Q(x,y,c)=X|αpN(t)dt.|αp N(t) dt.在这里,我们引入以下N次多项式N(六)并设置FN(t)=(bk=1k−1 -bk+1)Tk(t),2K(七)G N(t; c)= |t − c|α(t −c){F N(t)−FN()+pN(c)α+1根据Chebyshev多项式的性质我们有kk+ 1k−1(八)FJ(t)=b0TJ(t)+b1TJ(t)+bT(t)+···+b2 2T(t)− bNTJ(吨)N212· 22N−1N−12(N−1)N−1−bN +1T J(t).因此,从T0(t)=1,T1(t)=t,并设置bN=0,bN +1=0,我们可以得到N−1(九)FJ(t)=1b T(t)N此外,我们有关系N0NT. Miyakoda/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 225(2009)239241Σ20kkk=12tTk(t)=Tk+1(t)+Tk−1(t),因此,通过设置b−1=b1,以下关系成立N(十)2(t-c)FNJ(t)= (bk+1−2cbk+bk−1)Tk(t).k=0242T. Miyakoda/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 225(2009)239Σn(二人一)n∫nk+1)KKk)= 2k伊什nn伊什Σ((s-t)−q(fJ(s)− fJ(t))dt =(s-x)1−q{Fn−1(s)− Fn−1(x)}。如果我们通过以下方式确定系数bk,(十一)b(1−α+ 1— 2cb+b(1+α+1)aN,k=N,N−1,···, 1其中bN=0,bN+1=0,我们可以找到下一个关系式(12)GJN(t; c)= |t − c|αp N(t)因此,积分的近似值估计如下(13)Q N(x,y,c)= G N(y; c)− G N(x; c).3分数阶导数的离散化我们将第1节中积分(2)的主要部分写为:(14)Dqf(s)=f(0)s−q+0fJ(t)(s-t)-qdt,然后我们将第2节的结果应用于该积分。首先,我们将函数f(s)展开成如下形式(15)nJJf(s)fn(s)=k=0ak Tk(2s− 1),这里AJJ=τkl=0πl πklfcos−cos0≤k≤n且τ0=τn=1,τk= 2(1≤k≤n− 1),双素数表示求和的第一项和最后一项都被减半。根据前面的结果,对于积分(16)(s-t)-qfJ(t)dt,0我们可以找到一些阶为n−1的多项式Fn−1(s),使得伊什n nX也就是说,满足以下等式(18)fnJ(x)−fnJ(s)=(x-s)FnJ−1(x)+(1−q)(Fn−1(x)−Fn−1(s))。然后,设x=0,就可以得到q阶导数的值的估计公式(19)Dqfn(s) =f(0)s−q+SfJ(s)(s-t)−qdt−(s-x)1−q{Fn−1(s)−Fn−1k−1KnT. Miyakoda/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 225(2009)2392431 −q(0)}0(二十)fJ(s)=f(0)s−q+(s)1−q{n− Fn−1(s)+Fn−1(0)}。244T. Miyakoda/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 225(2009)239Σn−1n- −bΣk=0--{b}k.Σ−为了确定未知函数Fn−1(x),我们设置n−2(二十一)FJn−1(x) =bk Uk(2x− 1),k=0其中Uk(x)是第二类切比雪夫多项式,其服从递归公式2 xU k(x)= U k+1(x)+Uk−1(x),U−1(0)= 0。因此,我们有(22)F(x)=<${bk−1− bk+1}U(2x−1),和n−14k=1n−14(k+2)k(23)fJ(x)=2<$(k+1)ak+1Uk(2x−1).k=0将这些关系代入方程(18),我们可以找到下一个关于系数bk的方程,(二十四)bk−1 =.2(2s−1)bk(11−q)K+ 2k+1 +8(k+1)ak+1/(1+1−q)Kk=n−1,n− 2,···, 1,其中bn=bn−1=0。 然后我们可以估计(20)的右手侧。最后,我们可以将Dq f(s)的估计过程总结如下。步骤1:f(x);给定步骤2:计算展开成切比雪夫级数的系数;ak步骤3:计算展开成切比雪夫级数的系数步骤4:计算fnJ(s)=2<$n−1(k+1)ak+1Uk(2s−1)的值步骤5:计算n-1。BbF(x)=在x=0和x=s时k=1k−14Kk+14(k+2)Uk(2x− 1)步骤6:计算Dqf(s)=f(0)s−q+fnJ(s)F(s)+F(0) s1−q1−q−T. Miyakoda/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 225(2009)2392454图解分数导数函数f(x)=x(x)的一个例子q阶导数估计如下:246T. Miyakoda/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 225(2009)2390−1天Dq sk=Γ(1q)ds0tk(s-t)-qdt=1d{r(k+1)r(1−q)sk−q+1}Γ(1−q)ds=r(k+1)Γ(k+ 1−q)Γ(k+ 2 −q)sk−q其中我们使用关系B(k+1,1 −q)=<$1t k(1 −t)−qdt。表1如果f(x)=x7Q-迪塞韦什x=0.4时的值误差0.30.00509416-1。46584 ×10−160.50.0123669-9。19403 ×10−170.70.0368992-6。93889 ×10−17表2如果f(x)=x5Q-迪塞韦什X值误差0.30.40.0289503-1。11022 ×10−160.50.40.0657914-3。60822 ×10−160.50.70.816283二、22045×10−160.70.40.183343-9。99201 ×10−16在表1中,我们给出了k= 7和q= 0的情况。三,零。五,零。7,以及k= 5的情况在表2中。在这些情况下,数值结果与精确值在很小的差异下一致。然后这些结果表明,我们的扩展方法是积极的工作准确。此外,我们还尝试处理了Oldham和Spanier [5]中导数阶数为1/ 2时的一些例子。(一)(二)D1/2f(x)=exp(x)1(2)x=0(x= 0) x=0(f(x)=1+x(1996年)T. Miyakoda/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 225(2009)239247D f(x)=+1/ 21πx反正切πx√248T. Miyakoda/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 225(2009)239表3在f(x)以上的情况f(x)Q-迪塞韦什x=0.4时的值误差(一)0.51.83028-1。64979 ×10−13(二)0.50.183343-9。99201 ×10−16为了计算展开系数,我们设置n=10作为这些情况下切比雪夫级数的展开阶。为了与精确值进行比较,我们研究了已知其解析解的简单情况首先,我们直接应用Hasegawa-Torii算法来计算积分部分。关于一阶导数FJ(x)的级数展开,我们采用杉浦教授笔者谨向他表示衷心的感谢。引用[1] T. Hasegawa和T.张文龙,等离子体动力学与动力学的研究,国立台湾大学机械工程研究所硕士论文,(1991)[2] T. Hasegawa和T.张文忠,等,积型无限积分的自动积分法,国立台湾大学机械工程研究所硕士论文,[3] A.Carpinteri,F.Mainardi编辑:连续介质力学中的分形和分数阶微积分,Springer-Verlag,CISM378(1997).[4] H. Sugiura; Note on Hasegawa-Torii's automatic integration algorithm(预印本)(2005)(日文)。[5] K. B. Oldham,J. Spanier:The Fractional Calculus -Theory and Applications of Differentiation andIntegration to Arbitrary Order,Academic Press(1974).
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