迭代法求某些振子的修正解

埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joemsJournal of the Egyptian Mathematical Society（2013）21，142原创文章用迭代法求某些振子的修正解B.M. Ikramul Haquea，b，*，理学硕士马里兰州阿拉姆Majedur Rahmanaa孟加拉国Rajshahi 6204 Rajshahi工程技术大学数学系b孟加拉国库尔纳9203库尔纳工程技术大学数学系收稿日期：2012年10月31日;修订日期：2012年12月13日;接受日期：2013年2013年3月13日在线提供摘要利用经典迭代法求出了某些非线性振子的修正解。在本文中，我们使用了傅立叶级数，并在每个迭代步骤中使用了它的所有项（有时近似）。不同非线性问题的三阶和四阶近似频率与精确值吻合较好数学潜规则分类：34A34、34B992013年埃及数学学会。制作和主办：Elsevier B.V.在CC BY-NC-ND许可下开放访问。1. 介绍非线性问题的研究在应用数学、物理学和工程学以及其他学科中具有至关重要的意义。一般来说，非线性问题是通过将它们转化为线性方程组来解决的，但这种线性化并不总是可能的。在这种情况下，几种方法被用来寻找非线性问题的近似解，例如扰动[1*通讯作者：Rajshahi工程技术大学数学系，Rajshahi 6204，孟加拉国。联系电话：+88 041 769471 525.电子邮件地址：gmail.com（B.M. Ikramul Haque）。同行评审由埃及数学学会负责[16-26]等，其中应用最广泛的是非线性项较小的摄动法。Mickens[5，16，20]发展了另一种方法（HB），Lim[6，18]，Hu[19，21最近，一些作者[16-26]用一种迭代法求出了这类非线性问题的近似频率和相应的周期解，这种迭代法对小振幅和大振幅的振荡都有效。一些作者[22，23，25，26]使用这种方法的修改版本来改进结果;但这种修改对于本文中考虑的振荡器是不可能的。当函数不可微时，经典迭代法有时能改善结果本文的主要目的是改进文献[1]中的解。[13、14、26]。我们利用完整的傅立叶级数（有时近似）展开“余弦级数”中的非线性项在某些情况下，傅立叶级数的系数略有变化，使其成为标准形式（1110- 256 X？ 2013埃及数学学会。制作和主办：Elsevier B.V.在CC BY-NC-ND许可下开放访问。制作和主办：Elsevier关键词迭代法;振荡;非线性;非微扰法用迭代法14321X2X222X2.ðÞ ¼224cosh11k1KKK第1页2n-122k1KK1n-14×X-1cos2n-1hþþ000求和）。从第一近似到第四近似（在特定情况下为第三近似）已提交为了避免解中的长期项，我们必须去除cosh从右边的Eq。（十三）、我这样与现有的解决方案相比22. 述的方法让我们考虑一个非线性振荡器，X0¼Ap：1014 Ω然后求解Eq。（13）满足初始条件x1（0）=A，我们得到.1000X1你好！其中点表示相对于时间t的微分。n-100- 1000-100万我们选择这个系统的频率X。然后将X2x加到等式的两边（1）我们得到x€X2x¼X2x-fx;x€Gx;x€：2在[24]之后，我们将迭代方案公式化为这是Eq的第一个近似解。（8）并确定相关的X1。X1的值将从以下解中获得：x€2X2x2¼X2x1-1：1016x€Xx<$Gx;x;k<$0;1;2;. . . ;203将x1（t）代入等式（15）在等式的右边（16）我们得到连同x0吨/小时其中，xk+1满足条件：x€2X2x2¼AX21英镑41谷河n-11n¼2-1xk10A;x_k100：5在迭代的每个阶段，Xk由解中不应出现长期项（详见[1]该程序给出了解决方案的顺序-4X -1cos2n-1h：17再次避免在方程的解决方案的长期条款。（17）我们得到x0（t），x1（t），该方法可以进行到任何顺序216X¼：1880近似;但由于代数复杂性的增加，解决方案被限制在较低的阶数，通常是第二阶[17]。3. 例如Apalpp1然后求解Eq。（17）在满足初始条件下，得到了第二近似解，. 13.1. 反对称分段恒力振子让我们考虑反对称的、分段恒定的力x2μt/A-961n¼22012年12月12日p 5p cosh-1振荡器[26]x-sgnx;61p12014-04-22-1：1919年哪里sgn x1;x> 0;-1个;x0：<ð7Þ由解可求出第三近似值x3和x2x€3X2x3¼X2x2-1：20首先，我们选择x>0的情况，因此，等式（6）成为x€10：00当然，Eq。（8）可以写成将x2代入Eq。（19）在等式的右侧。（20），我们得到的结果表达式为x€100x¼AX. 12012年12月1日2p2015年12月5日p2015年2月2日x€100 X2x¼X2x-1：199mm现在迭代方案是（根据等式2）。（三）2232 32-X196n-1余弦21p2þ4x€Xx联系我们-1：100n-100- 1000— 1Þ当量（4）改写为xtn-100- 1000— 1Þ1n-1其中h=Xt。对于k=0，等式（10）成为— 4X100 - 1000 cosmos 2n-100h：1021x€1X2x1¼X2Acosh-1：1212Ω第1页.！！！xfx;x0;x0A;x_00;1x100 t/ s2：1500k1k1K1144B.M. Ikramul Haque等人2n-1X2的值 将从Eq的解中获得。（21），在区间[0，p]中展开余弦级数中的1并代入由方程式（12）我们得到利用解中不存在久期项的条件，我这样x€1X2x1¼X2Acosh-4X1n-1余弦：1313X2¼2384：12200 0pn12n-1一个12磅 12磅 5磅2磅用迭代法145n2322222K20n-100- 10004n-1n余弦函数2n- 1n0123x€2X2x2¼-AX2一一4n- 1β-雌二醇1010一1 112 22n¼2然后求解Eq。（21）满足初始条件，我们得到xt 1303030p15p234p334phx€2X2x2¼X2x1-x-1：32将x1（t）代入等式（31）在等式的右侧。（32）我们得到3384x€2X2x2¼AX21-12ln2=4cosh1n-11 1X1n-1X1-1英寸！-1pX-1cos2n-1h4n¼2 2n- 11X1- 铯-2-n-1，铯-33-n一2n-112X1你好，你好，你好！n-12n196n¼2 2n-1ð23Þ哪里这是方程的第三个近似解。（八）、在将此代入下一个并避免解中的世俗项后，我们得到a1/41： 599611;a3/4 0： 983636;a5/4 1： 102235;a7079400; 083797;.. . ：1340为了避免解中的长期项，我们必须去除coshX2¼15363：124小时从右边的Eq。（三十三）。我这样一个便士30便士 30便士15便士2便士 4便士3便士X2¼11：599611：350万这里，振荡器由Eq.（6）是反对称常数A21-12ln2=4力振荡器因此，X0，X1，X2，X3，. . 将在下一个间隔[p，2p]保持不变（其中x<0）。因此，X，X，X，X，... 分别由Eqs. 十四，十八，二十二那么方程（33）成为，X1-124、…. 代表振荡频率的近似值，lator（6）.1 1n¼2 400-10001X13.2.非线性奇异振子n¼2Cosmos 2n-1h：36的EQ。（36）近似可以写成，考虑一个非线性奇异振子1nxXx¼-AXX-1cos2n-1h221400-1000n¼221的EQ。（25）可以写成1：1X1根据等式（3）、Eq.（26）解方程。（37）满足初始条件，我们x€k1 Xkxk11/4Xkxk-x-1：227获得第二近似，第一次近似x1（t）和频率X0将是ob-t。x2tA1-3-4 ln2= 16 1：1-1 2 ln2= 4z cosh从解（将k = 0放入方程中）得到。（27）和uti-平衡方程（四）X1.þn¼2-11分10秒10秒10秒！1二-1x€1X0x1¼XAcosh-Acosh：28哪里现在在区间[0，p]中的傅立叶余弦级数中展开（cosh）-1，等式（28）减少到28z¼1-12ln2=4p3pln2p4pln16p：3922X1n-1x€100Xx¼XAcosh-100 -100 cosn-100h：1029m得到了三次近似x3和x2从该溶液中的为了检查解中的长期项，我们必须从方程的右侧移除cosh（29）我们得到X2½2：300mmx€3X2x3¼X2x2-x-1：40将x2（t）代入等式（38）在等式的右侧（40）利用同样的方法，我们得到0A2x€3X2x3¼X1.A×2。2-11分10秒10秒10秒21联系我们1分26秒！铯-2-n-1，铯-41-n然后求解Eq。（29）满足初始条件（根据Eq。（5），我们得到2哪里44X2n-1nAx1μt/A。1þ14-12 ln2cosh-1n¼2-1400-1000n-1β-雌二醇nnnnnX-100万--1n- 1β-雌二醇2n-1x€10x-1¼0：125€x€10 X2x¼X2x-x-1：126mmn¼2;380万n1þ146B.M. Ikramul Haque等人233ððn-1ÞnÞz n-1n2z1n-1n！：131人X2¼1：693744=A21-3- 4ln2= 161：1-1 2ln2= 4z：42然后求解Eq。（41）满足初始条件，我们这是Eq的第二个近似。（25）与相关的X1还有待确定第二近似值x2（t）和X1的值为：从以下溶液中获得获得xt1：0672co sh-X1.1-1：1分一点二十六分 ！我的天啊！我的天啊！;2043n¼2用迭代法14712221=32221= 321=3ðÞ21=3k1K k1K KK15366620211X00哪里z1¼1： 693744= 101-103- 4 ln2= 16 1：101- 102 ln2= 4z：1044将x1（t）代入等式（54）在等式的右侧。（56），结果表达式为x€2X2x2¼AX2d0d2cos2hd4cos4hcosh在下一次迭代的帮助下，X21/4： 56636：445秒1 131= 3f2n-1cosmetic 2 n-1benzoic3A2n1因此，X0，X1，X2，X3，.. . 分别由Eqs. 30，35，42和45， 表示振荡器（25）的频率的近似值。3.3. 非有理恢复力振子现在我们可以考虑一个非有理恢复力振子x€10x1=3¼0：146€当然，EQ。（46）可以写成x€10X2x¼X2x-x1=3：147mm迭代方案为哪里f1¼1： 169869; f3¼-0： 246939;f5¼ 0： 124850：12580为了避免解中的长期项，我们必须从方程的右侧移除cosh（57）。然后我们有X2¼f1=A2= 3d0d2=2;59现在求解Eq。（57）并满足初始条件，我们有第二个近似为x2tAg02g2 cos 2 hcosh;60哪里g011 22 3d2=22 4d4= 2-f3=e1 1 1= 25 -1 1 1 2;xXx ¼Xx-x：480万g21/4-d2=21/4d4= 2-f3=e1/1= 1/ 32-100%ð61Þ使用Eq.（4）将k=0代入方程。（48）方程-d4=2-f5=e1=5 -1：变成了，得到了下一个近似值x3和x2的值从该溶液中的x€1X0x1¼X0Acosh-Acosh：49x€3X2x3¼X2x2-x2：2016年2月使用傅立叶余弦级数，等式（49）减少到x€1X2x1¼X2Acosh-c.因为H-3。1cos3h-1cos5h-7cos7h-· ··时间：将x2代入Eq。（60）进入方程的右侧（62）并利用无世俗项的条件，我们得到X21/4： 16866= 100g100 g100：163 g的EQ。（50）近似可以写成x€1X2x1¼X2Acoshð50Þ因此，X0，X1，X2，. 分别由Eqs. 53，59和63，. 表示振荡器（46）的频率的近似值。0 0.3X1-1！4.结果和讨论哪里-c1cosh-5n12n;251公斤本文仅对某些非线性微分振子进行重新排列，利用迭代法[26]近似得到了c1¼3A1= 3 C 7= 6pC2=3：52这些振荡器。这个过程大大改善了结果。首先，我们考虑Eq的解。（六）、这里我们计算了X0，X1，X2和X3.所有结果均在为了避免解中的长期项，我们必须去除cosh从右边的Eq。（51）。我这样X2¼c1：153毫米为了比较近似频率，我们还由Belendez[13]确定的现有结果。然后我们考虑Eq的解（25）. 这里我们有0A计算X0、X1、X2和X3。所有的结果都在表2中给出，为了比较我们还得到的近似频率，然后求解Eq。（51）满足初始条件（根据-在Eq。（5），我们得到x1t¼Ad0d2cos 2hd4 cos 4h cosh;54哪里d01/41/1：2/4p- 4 ln2/4= 8; d21/4- 1：20 3-2 ln40= 4; d4/41：20 17- 12 ln40= 24：255ln当量（54）表示方程的第一个近似解。（46）并且要确定相关的X1X1的值将从以下解中获得：由Mickens[26]确定的现有结果。最近，Mickens[11]找到了非线性奇异振子方程的近似解（25）用迭代法和HB法。他指出，HB方法有时比迭代方法测量更好的结果;但很难用HB方法确定更高的近似（三分之一或三分之一以上幸运的是，我们的方法比Mickens迭代公式给出了更好的有时它也比MickensHB方法测量更好的结果（见表2;第9和第10列）。最后，我们考虑Eq的解。（46）。这里我们计算了X0，X1和X2.所有结果在表3中给出。为了比较我们也给出的近似频率，-A21148B.M. Ikramul Haque等人221x€Xx联系我们-x：1560由Belendez确定的现有结果[14]。2用迭代法149表1近似频率与精确频率Xe[6]的比较。振幅一XeX0Er（%）XB0Er（%）X1Er（%）XB1Er（%）X2Er（%）XB2Er（%）X3Er（%）X0、X1、X2和X3分别表示第一、第二、第三和第四修正近似频率;XB0、XB1和XB2分别表示第一，第二和第三近似频率由Belendez[13]获得。Er（%）表示百分比误差。表2近似频率与精确频率Xe[26]的比较。1： 1107211： 128381：128381：108921： 110351： 110891：108031： 11071A1= 2A1= 2A1= 2A1= 2A1= 2A1= 2A1= 2A1= 21.591.590.160.650.020.240.001Ampl-XeX0XMI0XMH0X1XMI1XMH1X2XMH2X3伊图德Er（%）Er（%）Er（%）Er（%）Er（%）Er（%）Er（%）Er（%）Er（%）A1： 253一点四一四一分一百五十五秒一点四一四1： 208一点零八分1： 2728一分二百六十五秒1： 2731一分二百五十二秒一一一一一一一一一一12.847.912.843.6318.11.60.921.580.14X0、X1、X2和X3分别表示第一、第二、第三和第四修正近似频率;XMI0和XMI1分别表示由Mickens[26]迭代法得到的第一和第二频率;XMH0、XMH1和XMH2分别表示由Mickens[11] HB法得到的第一、第二Er（%）表示百分比误差。1= 3表3近似频率与精确频率Xe[26]的比较。振幅XeX0Er（%）XB0Er（%）X1Er（%）XB1Er（%）X2Er（%）XB2Er（%）A1： 070451： 076851： 076851： 070301： 068611： 070571： 07019A1= 3A1= 3A1= 3A1= 3A1= 3A1= 3A1= 30.60.60.0140.170.0120.024X0、X1和X2分别表示第一、第二和第三修正近似频率;XB0、XB1和XB2分别表示Belendez[14]得到的第一、第二和第三修正近似频率。Er（%）表示百分比误差。在大多数文章中，结果都是通过修改方法[23-25]而得到改进的;但在这篇文章中，结果的改进仅仅是通过重新安排某些振子的控制方程。因此，在迭代过程中，修改不仅重要，而且重排也很重要。5. 结论迭代技术已被应用简单地重新安排一些振荡器。第一到第四（在特定情况下为第三）近似频率优于其他技术所示的相应频率可以观察到，第三和第四近似提供了极好的结果。确认作者感谢尊敬的审稿人为提高本文质量而提出的建设性建议 / 意 见 。 作 者 还 感 谢 Rajshahi 大 学 英 语 系 助 理 教 授Muhammad Tariq-ul Islam先生协助编写修订稿。引用[1] A.H. Nayfeh，扰动方法，Wiley，纽约，1973年。[2] R.E. 张文，平面动力学系统中的振动，北京，1996。[3] A.H.张文，微扰技术，北京，1981。[4] J.H.他，Modified Lindstedt-Poincare方法为一些非线性振荡。第三部分：双级数展开，国际非线性科学杂志。数字。你好2（2001）317[5] R.E.杨文，《谐波平衡法》，《声振学》，1998年。94（1984）456[6] B.S.吴伟平、孙俊文。林明，一类强非线性振子的解析近似方法，国际非线性力学杂志，41（2006）766[7] HPW张文，非线性加速度方程极限环的谐波平衡法，声振学杂志。297（2006）243[8] M.S. Alam，Md. E. Haque，M.B. Hossain，一种寻找非线性系统周期解的新分析技术，Int. J. Nonlinear Mech.24（2007）1035[9] A. Belendez，E.Gimeno，M.L.阿尔瓦雷斯警长李文，用广义谐波平衡法求解非线性谐振子，北京：计算机科学出版社。58（2009）2117[10] A.Y.T. Leung，G.钟进，非线性加加速度方程极限环的剩余谐波平衡法，国际非线性力学杂志，46（2011）898[11] R.E. 杨文，张晓刚，等.非线性方程组周期解的调和平衡与迭代计算. 声音振动 306（2007）968-972。[12] 廖世杰，振幅衰减正阻尼系统自由振动的解析近似方法，国际非线性力学杂志，38（2003）1173- 1183。[13] A. 贝 伦 德 斯 角 Pascual ， M. Ortuno ， T. Belendez ， S.Gallego，应用改进的He's同伦扰动方法获得具有不连续性的非线性振荡器的高阶近似，非线性分析。真实世界应用10（2）（2009）601150B.M. Ikramul Haque等人[14] A.贝伦德斯角Pascual，S.加莱戈，M。奥图诺角Neipp，应用改进的HeA 371（2007）421[15] H. 徐，J.张文龙，时间分数阶波动方程的同伦分析方法，物理学报。A 372（2008）1250-1255。[16] R.E.李文，非线性振动，北京：人民出版社，1999。[17] R.E.张文，非线性振子方程近似解的迭代求解，声振学杂志。116（1987）185[18] C.W. Lim，B.S.Wu，A modi fied procedure for certain non-linear oscillators，J. Sound Vib.257（2002）202[19] H. Hu，一种改进的等效线性化方法，即使在非线性不小的情况下也能工作，J. Sound Vib。276（2004）1145[20] R.E.张文，一种计算非线性振动系统周期解的近似方法，北京：机械工程出版社。287（2005）1045[21] H. Hu，一类强非线性振动的卷积积分方法，J. Sound Vib.285（2005）1235[22] H.胡，用迭代法求解双曲谐振子，J.声振动。298（2006）446[23] H.胡，二次非线性振子的解：迭代过程，J。声振。298（2006）1159[24] H.胡建辉汤，强非线性振子的经典迭代法，声振学。299（2006）397-402。[25] Y.M.陈建刚Liu，非线性振荡器的改进Mickens迭代法，J.Sound Vib. 314（2008）465[26] R.E. Mickens，Truly Nonlinear Oscillations，World Scientific，Singapore，2010。