金融学数值计算方法：时间分数阶Black-e-Scholes方程的同伦摄动数值算法

eGYPTI anjournalofbasI cand aPPlI e dSCIENCES 1（ 2014）177e183主办方：金融市场中分数阶Black-e-Scholes方程的数值计算Sunil Kumara，Devendra Kumarb，*，Jagdev Singhca印度贾坎德邦贾姆谢德普尔国家技术学院数学系，邮编：831014bJECRC大学数学系，Jaipur，303905，Rajasthan，印度c印度拉贾斯坦邦，斋浦尔，303901，贾根纳特大学数学系A R T I C L E I N F O文章历史记录：收到日期：2013年12月24日收到日期：2014年2014年10月27日接受2014年11月15日在线发布关键词：Blacke Scholes方程欧式期权定价分数阶导数解析解同伦摄动法同伦分析法2010年数学学科分类：34A0835A20AB S T R A C T本文利用同伦摄动方法和同伦分析方法，给出了一类欧式期权问题带边界条件的时间分数阶Black-e- Scholes方程的一个数值算法分数阶导数在Caputo意义下描述该方法给出了一个解析解的形式，收敛系列易于计算的组件，不需要线性化或小扰动。该方法显示了对现有分析技术的改进给出了两个算例，表明同伦摄动法和同伦分析法是非常有效和方便的，克服了传统方法的困难。数值结果表明，该方法应用于时间分数阶的Black-e-Scholes方程时，不仅易于实现，而且具有较高的精度版权所有2014年，曼苏拉大学。由Elsevier B. V.制作和托管。这是一个CC BY-NC-ND许可证下的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/）。1.介绍1973年，Fischer Black和Myron Scholes[1]推导出了著名的期权理论估值公式。Black和Scholes的主要概念思想在于构建一个无风险的投资组合，该投资组合在债券（现金）、期权和标的股票中持有头寸这种方法加强了对无套利原则也是如此。因此，布莱克-斯科尔斯公式被用作评估非股息支付股票的欧式（期权只能在指定的未来日期行使）或美式（期权可以在该日期之前的任何时间行使，期权到期）看涨期权和看跌期权的模型[2]。布莱克-斯科尔斯方程的封闭形式解的推导依赖于热方程的基本解。因此，重要的是，在这一点上，*通讯作者。联系电话：电话：919460905223电子邮件地址：skumar. nitjsr.ac.in（S.Kumar），devendra. gmail.com（D.Kumar），jagdevsinghrathore@gmail.comwww.example.com Singh）。由曼苏拉大学负责进行同行审查。http://dx.doi.org/10.1016/j.ejbas.2014.10.0032314- 808 X/版权所有2014年，曼苏拉大学。由爱思唯尔公司制作和主持这是一篇CC BY- NC-ND许可证下的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/）。可在www.sciencedirect.com在线获取ScienceDirect杂志主页：http://ees.elsevier.com/ejbas/default.asp178埃及生物多样性和应用科学杂志1（ 2014）177E183Z.- 是的- 是的 - 是的Σ¼. - 是的ΣtÞ¼Gðn- ÞaXXEza2C;Rea>0： （10）*tvtvx2rtxvx-r tx;t2R×Zm-a-1m通过变量变换将Blacke Scholes方程转化为热传导方程在找到热方程的封闭形式解之后，可以将其转换回找到布莱克-斯科尔斯偏微分方程的相应解。金融模型一般用随机微分方程来表述.然而，人们很快发现，在一定的限制下，这些模型可以写成变系数的线性演化偏微分方程[3]。因此，期权价值的布莱克-斯科尔斯模型由以下方程描述：v.x;T=max.x-E;0μ m;x2R;v. 0;t=0;t20;T（四）2.分数阶微积分的基本定义在这一节中，我们提到分数阶微积分的以下基本定义，这些定义将在本文中进一步使用。定义1. Riemann-Liouville分数阶积分运算vvs2x2v2v2. Σvv.Σ.- 是的 Σ函数f∈Cm;m≥-1的a>0阶算子定义为：【15】：其中v（x，t）是在资产价格x和时间t的欧式看涨期权价格，K是执行价格，T是到期日，r（t）是无风险利率，s（x，t）表示波动率1tJaft0T-T-A-1型飞机a>0;（5）基础资产的功能让我们分别用vc（x，t）和vp（x，t）表示欧式看涨期权和看跌期权的价值然后，收益函数为vcx;t¼maxx-E;0;vpx;t¼maxE-x;0;（2）其中E表示期权的到期价格，函数max（x，0）给出x和0之间的较大值。在过去的几十年里，许多研究者用各种方法研究了Black-Scholes模型解的存在性[4e12]。在电磁学、声学、粘弹性、电化学和材料科学中，分数阶微分方程可以很好地描述许多重要现象。这是因为，通过使用分数阶微积分，可以成功地实现不仅在时刻而且在先前时间历史上具有依赖性的物理现象的真实建模。的J0ft¼ft：（6）对于Riemann-Liouville分数次积分，我们有：JatgGGga1定义2.在Caputo意义下f（t）的分数阶导数定义为[36]：不1DaftJm-aDnftt-tfðtÞdt；(8)0对于m-1a≤m;m2N;t> 0.<对于Riemann-Liouville分数阶积分和Caputo分数阶导数，我们有以下关系Oldham和Spanier的书[13]在该主题的发展中发挥了关键作用有关的一些基本结果M-1JaDaftt -fk0tk ：（9）不不在Miller和Rose[14]，Podlubny[15]，Kilbas et al.[16]，Podlubnyk¼0快！[17]第10段。本文的目的是推广定义3. Mittag-Leffler定义为[37]：同伦摄动法与同伦分析∞k方法（HAM）得到了分数阶Blacke-Scholes方程的解析解和近似解。同伦摄动法是由中国数学家何文[18e22]首先提出并应用的.该方法已成功地应用于Yildirim和Kocak[23]的时空分数阶对流扩散方程、Yildirim和Gulkanat[24]的分数阶Zakharov和 Kuznetsov方程、Abdulaziz等人[25]的分数阶修正Kdv方程、Khan等人[26]的分数阶化学工程方程[26]第10段。同伦分析方法是一种应用广泛的分析方法(HAM)是由廖氏[27e31]提出并发展起来的。za;k¼0Gak13.同伦摄动法（HPM）的基本思想为了说明分数阶微分方程HPM的基本思想，我们考虑以下问题DAU。x; t; v.x; t-Lu.x; t= Nu.x;t≤ m;m-1a≤m;<这种方法被应用于解决许多非线性问题[32e35]和其中的参考文献，以处理各种各样的科学和工程应用：线性和非线性*tm2N;t≥0;x2Rn根据初始和边界条件（十一）以及均匀和不均匀。分数阶Blacke Scholes方程可以写为：乌西河 10;0 0 0 0 ci;B.u;vu;vuvx vt1/2;1/ 2;（十二）as2x22Dtv2DxvrtxDx v-rtv0; 0a≤ 1;（3）<其中L是线性算子，而N是非线性算子，v是已知的解析函数，Da表示分数配备Caputo意义上的终端和边界条件导数[15]。假设u是因果关系加瓦什Σv¼0;0;T（一）179eGYPTI anjournalofbasI cand aPPlI e dSCIENCES 1（ 2014）177e183*t .Σ ΣΣ*t*t.- 是的 - 是的. - 是的中国--2110 12不.- 是的 ΣΣXp0：Dau0x;t.≤¼1/4;你好！01230不不u1.a.L u0.x; t=0.u0.n.一个v.x;t;不不不.---- .- 是的 ΣXX时间的函数，即，对于t0消失。<同样u（i）（x，t）是u的i阶导数，ci，i^0，1，2，我们构造以下同伦. 1-p ppDau.x; tp.DAU。x; tLu.x; tNu.x; t= v。x;t=0;其中NF是非线性分式算子，x和t表示自变量，u是未知函数。为了简单起见，我们忽略所有的边界条件或初始条件，可以用类似的方式处理。利用HAM，我们首先构造了所谓的零阶变形方程，作为p2=0; 1= 0（十三）[1-qLF½fx;t;q-u0x;t]<$ZqHx;tNF½ux;t];（22）这相当于Dau x;tpLux;tNux;t-vx;t¼0;p20; 1（14）同伦参数p总是从零变到一。在p 1/40的情况下，等式（14）成为DAU。x;t=0;（ 15）当p<1时，方程（14）原来是原来的分数阶微分方程。同伦参数p用于将解展开为以下形式联合x; t=0. x; t pu1. x; t=0. x; tt t t p3u3. x; t.：（十六）其中q21/20;1]是嵌入参数r，Zs0是辅助参数，LF是辅助线性算子，4（x，t; q）是未知函数，u0（x，t）是u（x，t）的初始猜测，并且H（x，t）表示非零辅助函数。显然，当嵌入参数q<$0和q<$1成立时，fx;t;0u0x;t;fx;t;1u x;t;（ 23）。当q从0增加到1时，4（x，t;q）从初始猜测u0（x，t）到解u（x，t）变化。将4（x，t;q）展开为关于q的泰勒级数，我们有XM对于非线性问题，我们设置Nu（x，t）¼S（x，t）。替换Eq。（16）在Eq.（14）并使这些项与p的同幂相等，我们得到以下形式fx;t;qu0x;t哪里m¼1你好（二十四）.1vmf*tvqm*t0100p1：Dau。x; t= 1/2-Lu。x; t= S。联合x; tt v. x;t;*tq¼0p2：Dau x; tLu x; tS ux;t;ux;t;p j：Dau j x;t 1/4-Lu j1x;t-S j1u0x;t;x;t;u2.x; t;.; u j-1.x;t= 0;j=2; 3; 4;如果辅助线性算子、初始猜测、辅助参数Z，并且适当地选择辅助函数，级数（24）收敛于q1，则我们有∞函数S0、S1、S2、S. 联合x; t pu. x; t=2u. x; t=3u. x;t...ux;tu0x;tumx;t;（26）m¼1¼S0u0x;tpS1u0x;t;u1x;tpS2u0x;t;u1x;t;u2x;t...应用Ja的逆运算符（十八）两岸的它必须是原非线性方程分数阶微分方程根据定义（26），可以从零阶变形（22）推导出控制方程。定义向量方程（15），并考虑初始和边界条件，在某些情况下，级数解的各个分量由下式给出：n-1个我不是ux;tc1/4！um<$fu0x;t;u1x;t;对零阶变形Eq. （22）m次关于q，然后除以m！最后设q=0，我们得到下面的m阶defor。反应方程：uj。a.L uj-1。x;ttu0.x;t;u1.x;t;LF½umx;t-cmum-1x;t]<$ZHx;t 1：（三十）为了展示HAM的基本思想，考虑以下非线性分数阶微分方程NF½ux;t]¼0;（21）∞;.*（25）我*t*t180埃及生物多样性和应用科学杂志1（ 2014）177E1835.欧式期权定价方程为了说明HPM和HAM求解分数阶Black-Scholes方程的优点和精度，181eGYPTI anjournalofbasI cand aPPlI e dSCIENCES 1（ 2014）177e183不不X不一一一一一个2一个2一一一个2一一一一个2一X射线衍 射 仪不X然后除以m！和不1þ不.--好吧 - 不-Σ在边界条件下，对两个不同的欧式期权问题进行了数值计算。例1. 我们认为分数布莱克和斯科尔斯相等-vx;tm a xex;01-Ea-ktamaxex-1;0Ea-kta：这是（31）的给定问题的精确解。（三十六）如[12]为了解决Eq。（31）通过HAM，我们选择辅助操作，生成器如下vavv2vvvvta¼vx2k-1vx-;0

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