广义混合平衡问题和不动点问题的强收敛定理

ebJournalof the Egyptian Mathematical Society（2015）23，326埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joems原创文章公共元素对于极大单调算子，广义混合平衡问题和不动点问题张静玲，苏永福*，程青青天津工业大学数学系，天津300387接收日期：2013年8月30日;修订日期：2014年3月4日;接受日期：2014年5月6日2014年6月27日在线提供本文的目的是在一致光滑一致凸Banach空间中得到可数族相对拟非扩张映象fSng1n^0，极大单调算子T和一般化混合平衡问题的强收敛定理。条件UARC。两个例子来支持我们的结果。一类是可数的一致闭相对拟非扩张映射族，但不是可数的相对非扩张映射族。另一个是一致闭的，但不满足条件UARC。该领域的许多最新结果得到了统一和改进。2010年数学学科分类：47时05分; 47时09分; 47时10分？2014制作和主办Elsevier B.V.埃及数学学会的代表1. 介绍在无限维Hilbert空间中，Mann迭代算法一般只有弱收敛性，即使对非扩张映射也是如此。 因此，要想有强大的转化能力，近年来，混合迭代法设E是一个光滑的Banach空间。我们用f表示E×E上的泛函，定义为/x;ykxk2-2hx;Jyikyk2;8x;y2E：点p2c称为（强）渐近不动点如果存在序列fxng1n0<$C使得（xn！p）的范围内非线性映射的逼近不动点，xn*p和limn！1kxn-Txnk ¼¼0. （强）非对称的集合，由多位作者介绍和研究[1*通讯作者。联系电话：+86 22 83956320。电子邮件地址：suyongfu@tjpu.edu.cn（Y.Su）。同行评审由埃及数学学会负责制作和主办：Elsevier用（F T）F T表示一个定常不动点。设E为光滑在Banach空间中，我们说一个映射T是（弱）相对非扩张的（见[7(i) FT-(ii) /10p;Tx106/10p;x10p;8x 2C;p 2FT10p;(iii) （FTFeT）FTFbT。1110- 256 X？ 2014制作和主办Elsevier B. V.埃及数学学会的代表http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2014.05.006关键词相对拟非扩张映射;广义f-投影;一致闭;强收敛极大单调算子广义混合平衡问题的公共元逼近32722！×！联系我们！！2gy2C2ðÞ22ð-ðÞ22× ！[1克]22¼¼！[1克]22C！ð Þ 82Cn2C一个多值算子T：E！ 2Eω与域DTfz2E：Tz-;g称为单调的，如果对于每个xi2DT和yi2Txi;i1;2，hx1-x2;y1-y2iP0。一个单调算子T称为极大算子，如果它的图G T x;y：y Tx不恰当地包含在任何其它单调算子的图中.我是说...一种解决包含0Tx是近点 算法 这 算法 是 第一 提出Martinet[12]和 Rockafellar[13]在Hilbert空间中的一般研究。A映射A：C！称Eω为a-逆-强单调，如果存在a>0使得hAx-Ay; x-yiPakAx-Ayk; 8x; y2 C.很容易看出，如果A：C！Eω是一个α-逆强单调映射，则它是1=a-Lipschitzian。设T：E2Eω 是光滑Banach空间中的极大单调算子E. 我们 表示 的 预解的不通过Jr：对于每个r>0， 然后J r：E！ DT是一个单值映射。此外，T-10<$F<$Jr<$，对于每个r>0，其中F<$Jr<$是Jr的不动点的集合。 对于每个r> 0，T的Yosida近似定义为A rJJJ r=r。已知的Ar x2TJrx;8r>0和 x2E：令u：CR是实值函数，A：CEω是一个非线性映射，f：C CR是一个双函数. 为了解决均衡问题，让我们假设双函数-f满足以下条件：(A1)对于所有x2C，f=x;x =0;(A2)f是单调的，即，f<$x;y<$$>f<$y;x<$≤0对于所有x;y2C;而经济学可以归结为寻找广义均衡问题的解[18]。求相对非扩张映射不动点的算法已得到广泛的研究。例如，Mann迭代法、Ishikawa型迭代法、Halp-ern型迭代法、混合方法以及许多其他改进方法。最近，利用Nakajo和Takahashi将神浦、高桥的思想[21]与秦、苏[20]相结合[22]介绍了在一致光滑一致凸Banach空间中求不动点集和零点集的一个元素的混合逼近型算法。 在2011年，Jesus等人[23]引入并研究了一个广义平衡问题、一个极大单调算子和一个可数族相对非扩张映射的混合收缩投影方法。得到了强收敛定理。2. 引理设E是光滑严格凸自反实Banach空间，C是E的非空闭凸子集。 众所周知，从E到C的广义投影PC定义为：PCxargmin/y;x;8x2E：PC的存在性和唯一性由以下性质得出（A3）对于每个x;yC;limt！0ftz1tx;y6fx;y;（A4）对于每个xC;y#fx;y是凸的和下半凸的，连续的广义混合均衡问题是找到u C[14fu;yuy-uu hAu;y-uiP0;8y2C：1：7在整个 这 纸， 我们 表示 fu;yuy-uu函数fx;y和映射的严格单调性平J。很明显，kxk-kyk其次，我们回顾了广义f-投影算子的概念及其性质. 设G：CEωR是定义如下的泛函：Gn;uknk2-2hn;uikuk 2qfnn; 2：1hAu;y-ui由Fx;y。（1.7）的解集用GMEPF;u表示，即，GMEPF;uf u2 C： f u; yuy-uu h Au; y- uiP0;8y2Cg：如果A0，则问题（1.7）等价于许多作者研究过的混合均衡问题，即求u C，使得fu;yuy-uuP0;8y2C：如果u0，则问题（1.7）等价于许多作者考虑的广义等式问题，即求u2C，使得fu;yhAu;y-uiP0;8y2C：若u<$0;A<$0，则问题（1.7）归结为许多作者考虑过的平衡问题，即求u2C哪里nC;uEω;q是一积极numberf：CR是真的、凸的、下半连续的。从G和F的定义中，不难看出以下几ing属性：(i) 当n是固定的时，Gn;un是凸的且关于u(ii) G∈n;u∈n是关于n的凸的下半连续的当u被固定的时候。我们可以看到，泛函G是泛函f的推广。也就是说，泛函f是泛函G在f≠0时的特殊情况。定义2.1[24]。 设E是实Banach空间，其对偶Eω。设C是E的非空闭凸集。 我们称Pf：Eω2C是广义f-投影算子，如果ω使得fu;yP 0;yC.广义混合均衡问题包括不动点问题、最优化问题、变分不等式问题、极大极小问题、纳什均衡问题等。已经提出了一些方法来找到它的解决方案。物理学中的许多问题对于任何u2E，Pfu<$fu2C：Gu;uinfGn;ug：对于广义f-投影算子，Wu和Huang[20] 证明了以下基本性质：328J.Zhang等人CωfCð Þ÷你好！CBCCCnn¼0nn¼0公司简介F引理2.2[24]. 设E是实自同构Banach空间，其对偶为Eω.设C是E的非空闭凸集。那么以下陈述成立：(i) Pf是C，8u2E ω的非空闭凸子集.(ii) 如果E是光滑的，则对所有的u2E;x2PCu当且仅当hx-y;u-Jxi qfy-qfxP0;8y2C：(iii) 如果E是严格凸的且f：C！ R [f] 1g是正齐次的（即， f ∈tx tf ∈x，对所有t> 0使得tx 2 C，其中x 2 C），则Pf是单值映射。Fan等人[25]证明了引理2.2中的条件f是正齐次的，可以去掉。引理2.3[25]. 设E是实自反Banach空间，其对偶E ω是实自反Banach空间，C是实自反Banach空间的非空闭凸集.则若E是严格凸的，则Pf是单值映射./y;xGx;Jx6Gy;Jx;8y2C：引理2.8 [28]. 设E是Banach空间，y~ 2E.让f：E！R [f1 g]是一个具有凸域D[f1g]的真凸下半连续映射. 如果fxng 是 D 中 的 序 列 ， 使 得 xn*x2int 且 limn ！ 1Gxn;JyG x;Jy，然后limn！1kxnk ¼kxk。相对拟非扩张映射的不动点集FT是闭的和凸的，如下面的引理所示引理2.9（[29，30]）. 设C是光滑一致凸Banach空间E的非空闭凸子集。设T是C到自身的闭相对准非扩张映射。则FT是闭的和凸的。引理2.10[21]. 设C是光滑一致凸Banach空间E的非空闭凸子集。 设fxng1n^0和fyg1是E中的序列，使得fxg1或G1回想一下，当E是光滑Banach空间时，J是单值映射存 在 唯 一 的 元 素 u2Eω使 得 对 于 每 个 x2E 都 有 u^Jx.在（2.1）中的替换给出了Gn;Jxknk2-2hn;Jxkxk2 2qfn：注意，只要f为0，广义f-投影算子就等价于广义投影算子.现在，我们考虑Banach空间中的第二类广义f-投影算子.定义2.4[26]。设E是实Banach空间，C是E的非空闭凸子集.我们说E！2 C是广义f-投影算子，如果Pfx¼fu2C：Gu;JxinfGn;Jxg;8x2E：是有界的 如果李敏！1/nxn;yn = 1/^0，然后limn！1kxn-ynk1 / 40。下面的结果是由于Blum和Oettli[17]。引理2.11[17]. 设C是光滑严格凸自反Banach空间E的非空闭凸子集，f是从C×C到R的满足λA1λ-λ A4 λ的双函数. 那么对于r>0且x2E，存在唯一的z使得1fz;yrhy-z;Jz-JxiP0;8y2C：引理2.12[31]. 设C是一致光滑严格凸自反Banach空间E的非空闭凸子集，f是从C×C到R的双函数，满足Cn2C显然，相对拟非扩张映射T的定义等价于(1) FT-(2) Gp; JTx6 Gp; Jx;8 x 2 C; p 2 F T。引理2.5[27]第10段。 让E被一Banach空间F：E！ R[f] g是下半连续凸函数。则存在xω2Eω和a2R使得f<$x<$Phx;xωi <$a;8x2E：引理2.6[28]. 设C是光滑自反Banach空间E的非空闭凸子集.那么以下陈述成立：(i) Pf是C的非空闭凸子集，x2E;f(ii) 对于所有x2E;^x2PCx当且仅当hx^-y;Jx-Jx^i qfy-qfxP0;8y2C;(iii) 如果E是严格凸的，则Pfx是单值映射。引理2.7[28]. 设C是光滑自反Banach空间E的非空闭凸子集.设x2E， x2P。然后A1-A4对于r> 0和xE，定义一个映射Tr：EC如下所示1Trxfz2C：fz;yrhy-z;Jz-JxiP0;8y2Cg对于所有x2 E.那么，以下陈述成立。(i) Tr是单值的。(ii) Tr是一个强非扩张型映射，即， 为 所有x;y2E，hTrx-Try;JTrx-JTryi6 hTrx-Try;Jx-Jyi：(iii) FT rF T r EP F。(iv) EP f是闭凸的。使用引理2.12，可以得到以下结果。引理2.13[31]. 设C是光滑严格凸自反Banach空间E的非空闭凸子集，f是从C×C到R的满足λA1λ-λ A4 λ的双函数，r > 0.然后，对于x2E和q2F<$ Tr<$，/q;Trx/ Trx; x6/q;x：利用引理2.11和2.12，Yekini Shehu[32]得到了以下结果。PFC极大单调算子广义混合平衡问题的公共元逼近329fg¼ðÞ¼ ðÞþ我...ðÞþ h-inCn1n¼0F;22nn<$0被称为一致闭的，如果pnn¼0w21 FS n。由于u n<$K r yn，应用（3.1）和命题，-S XK！0为n！1.一、n¼0nRrnn第2.14号提案[32]。设C是一个非空的闭凸空间光滑严格凸自反Banach空间E.假设的f：C×C！R满意(A1)- （A4），让A：C！ Eω是连续单调映射，u：C！R是下半连续凸泛函。此外，定义一个映射Kr：E！ C如下：Kr xf u2 C1：fu;yuy-uu hAu;y-uirhy-u;Ju-JxiP0;8y2Cg;8x2E;则以下属性成立。(i) Kr是单值的，(ii) Kr是一个强非扩张型映射，即， 任何x;y2E，hKrx-Kry;JKrx-JKry;6hKrx-Kry;Jx-Jy;(iii) FKr GMEPF;u，3. 主要结果定理3.1. 设C是一致凸一致光滑Banach空间E的非空闭凸子集。设Sn1n0是C上可数的相对拟非扩张自映射族 ，它们也 是一致闭映射.令f：E！ R[f 1 g]是一个具有凸域D [f 1 g]和C [f 1 g]的真凸下半连续映射. 假设T：E！ 2Eω是极大单调算子，A：C！ E ω是连续单调映射，u：C！R是下半连续凸函数。 令f：C × C！R是满足λA1 λ-λ A4 λ的双函数。设fxng是一个序列，道：x02C0任意;zn<$ J-1ann Jxn1-ann JSn xn;y<$J-1bJx1-bJJz;(iv) GMEP F; u是一个闭凸函数。n nnnrnn由于F x;y f u;y u y乌乌Au;yu满足条件（A1）我们可以很容易地得到下面的引理2.15 设C是光滑严格凸自反Banach空间E的非空闭凸子集，F是从C×C到R的满足λA1λ-λ A4 λ的双函数，r > 0.那么，对于x2E和p2F，/p;Krx/ Krx; x6/p;x：此外，不等式将为Gp;JKx/Kx;x6Gp;Jxun2C使得fun;yuy-u un hAun;y-uni1Jun-JyniP0;8y2C;Cn1f v2 Cn： G v; Jun6bn G v; Jxn1-bnG v; Jzn6GB.p.v;JxnB.p. g;x n1Pfx0;n <$0; 1; 2;.3：10哪里 C0¼C;frng1n0是 一 序列 在0.00;1.00。 和fag1 fbg1¼（1）满足：在函数G的意义nn¼0nn½ 0是序列，lim infrn> 0;lim supan 1;lim supbn 1：<<引理2.16[33]. 设E是自反的严格凸的，你好！1你好！1你好！1光滑Banach空间，设T：E！2Eω多值令C：1/4GMEP=F;u= \T-10\\T1F=Sn=操作符. 对于所有r> 0，则以下陈述成立。(i) T-10是闭凸的，如果T是极大单调的，使得T-10-.(ii) T是极大单调的当且仅当T是单调的，RJrTEω。引理2.17[34]. 设E是自反严格凸光滑Banach空间，T：E！ 2Eω是一个极大单调算子，T-10-; 那么以下陈述成立。(I) 对于所有r>0;z2T-1 0，x2E.(II) J r：E！DT是一个相对非扩张映射。定义2.18.设E是Banach空间，C是E的非空闭凸子集. 设fSng1n<$^0：C！E是C到E的映射序列，使得\1n0F<$Sn<$非-上面生成的序列fx ng强收敛于PCx0。证据首先，让我们证明，Cn是一个封闭的和凸的子集C的所有nP0。事实上，Gv;Jun6bnGv;Jxn1-bnGv;Jzn（）2hv;1-bnJznbnJxn-Juni61-bkznk2- kunk2bkxnk2和bnG v; Jxn1-bnG v; Jzn6 G v; Jxn（）2hv;Jxn-Jzni6kxnk-kznk：显然，Cn是闭的，且对每个nP0都是凸的其次，我们证明了C<$Cn对于每个nP0。事实上，很明显，C=C0¼C。假设C∈Cn，对于某个n2N。-1空的fSg1当fxg！p和kxn¼ 2\1nnFS，任意取Tw2C则w2GMEP=F;u= f;w2Tn第2.14章我有0d和330J.Zhang等人22¼22k kCn¼2不n1nn1nnnnrnnnnnrnnnnnCn1Rnnnnnnnn0n0n01n¼0nnn¼0fGxn;J x0gn0是有界的。注意，Cn对于拟非扩张映射，我们有p2结合引理2.10，我们得到limn！1kxnm-xnk ¼0，2我是一个很好的朋友。22ω2G w; JunnG w; JKrn yn6 G w; Jyn^^1/4 kwk-2hw;bnJxn 1-bnJJrnzni kbnJxn1-bnJJrnzn k2qfwGxn1;Jun6Gxn1;Jxn;8nP0;和Gx;Jz<$6Gx;Jx<$; 8nP0;它们等价于6kwk2-2bhw;Jxi-2 1-bhw;JJ zibkxkbnG6bnGw;Jxn1-bnGw;Jzn1/4bnGw;Jxn 1-bn Gw;annJxn 1-anJSn xn1/4bGw;JxnNN 1-bN 1/2 kwk/xn 1;un6/xn1;xn;8nP0;和/xn1;zn6/xn1;xn;8nP0：因为/x n1; x n！0，则可以得出/x n1; u n！ 0d和/x n1;z n！0的情况。利用引理2.10，我们得出结论，-2hw;anJxnlimkxnlim1-znlimk <$0;þð1-anÞJSn xnk þ2qfðwÞ]6bnGðw;JxnÞþð1-bnÞ½kwk-2anhw;Jxni-2ð1-anÞhw;JSn xni22你好！1所以limkx你好！1— uk <$limkx你好！1— zklimku-zk 0;3：3nkxn kþð1-anÞkSn xnk[2012 -04-22]n n你好！1nn你好！1n n你好！11/4bnGw;Jxn1-bnanGw;Jxn1-anGw;JSnxn]6bnGw;Jxnþð1-bnÞ½anGðw;JxnÞ þð 1-anÞGðw;JxnÞ]1/4G/w;Jxn/w：这意味着w2Cn= 1。因此，对于所有nP0，C<$Cn它同样，由于在第二步的证明中，我们可以推导出/w;un6/w;y n6/w;xn;8w 2C：与引理2.15一起，我们有/n;ynn;yn6Gw;Jyn-Gw;JKrnyn这意味着xn= 1/4Pfx0定义得很好。然后通过归纳6Gw;Jx-Gw;JKy/w;x-/w;u上面生成的序列fxng对于每个整数都有很好的定义1/4 kxk-kuk-2hw;Jx-Jui为了证明fxng是柯西序列，我们首先应该证明xn和Gxn;Jx0是有界的. 从定义G和引理2.5，我们有Gx;Jxkxk2-2hx;Jxi kxk22qfx6kxnk-kunkkxnkkunkk2kwkkJxn-Junnk2013年3月4日从kx n-u nk开始！ 0且J在E的有界子集上是一致范数-范数连续的，则kJxn-Junk！ 0n0nn0 0n所以/un;yn！0的情况。因为E是光滑的和一致凸的，Pkxnk2-2hxn;Jx0i kx0k22qhxn;xωi 2qa1/4kxnk2-2hxn;Jx0-qxωi kx0k22qaPkxnk2-2kxnkkJx0-qxωk kx0k2<$2qa1/4 kxnk -kJx0-qxωk2kx0k2- kJx0-qxk2qa：3：2根据引理2.10和（3.4），我们有kun-ynk ！ 0;所以kxn-ynk ！0：03：50注意，E是一致光滑和一致凸的。因此J和J-1分别在E和Eω的有界子集上是一致范数到范数连续的因此，从（3.1）和（3.5），我们可以得到由于xnPfx0，由式（3.2）可以得出：Gq;JxGx;JxPkxk- kJx— qxωk2kxk2-kJx— qxωk2Jxn k！Jx nk！0的整数;所以kJ rnz n-x nk！0. 加上kx n-z nk！ 0这意味着2002qalimkz-Jzk <$limkJz— JJ zk¼0：13：60对于每个q2T1FS。这意味着fxg1和n你好！1rnnn你好！1RnnPfCn1 x0。利用引理2.7，我们可以得到Jz n-Jx nk！第0章：/xn1;x nG xn;Jx 06G xn1;Jx0：由于/<$xn<$1;xn <$n为非负，我们有这意味着kJSn xnlimx S x0：— Jx nk！0，所以Gxn;J x06Gxn1;J x0。 这表明，limn！1Gxn;J x0你好！1kn-nnk¼存在.类似地，我们有/<$xn<$m;xn<$$>G<$xn;Jx0<$6Gxnm;J x0m。然后，我们可以导出limn！1/10xnnm;xn n n=1 / 10。由于fSng1n0是一个可数的一致闭关系族1也就是说，fxng是一个柯西序列。在不失一般性的情况下，我们可以假设limn！1xn¼p.现在， 我们 宣称，kz n-J rnz nk！ 0和limn！1kxn-Snxnk1 / 40。根据C的定义，我们有2gernP0.00从（3.1）和（3.3），我们又得到：极大单调算子广义混合平衡问题的公共元逼近331接下来，让我们证明p2 T-10。 从x n开始！p，由式（3.3）和式（3.5）可以得出z n！p和J rnz n！p. 此外，从（3.6）和liminfn！1rn>0，我们得到1limkArnznk limkJzn-JJrnznk0：n1你好！1你好！1rn332J.Zhang等人22ðÞ！ðÞþ我...ðÞþ h-i！1fgnn02FGT¼¼Xn1nn不不CCn1nnnn.Σ¼设zωTz，则从（1.1）和算子T的单调性得出：hz-Jrnzn;zω-ArnzniP0：让n！ 1，我们得到hz-p;zωiP0. 最大的众所周知，l2是一个希尔伯特空间，所以l2l2。设fxngE是由下式定义的序列：x01/4 1; 0; 0; 0;.. .;x1¼ 1; 1 ; 0; 0;.. .算子T的性质产生p2T-10。现在 我们 应 示出了p GMEP F;u。 因为J是在E的有界子集上一致范数到范数连续，从（3.5）我们 有limn！1kJun-Jynk ¼0.从林infn！1rn>0，则x2¼英寸1; 0; 1; 0; 0;.. .; x3¼ 1; 0; 0; 1; 0; 0;.. ..... ...... ..... ...... ... ：;xn¼nn;1;nn;2;nn;3;. ;nn;k;···其中对于所有n个P1，limkJunn-Jynk<$0：03：70nn;k1个;如果k<1;n< 1;0;如果k你好！1 rn根据un的定义：1/4Krnyn，我们有1Funn;yrhy-un;Jun-JyniP0;8y2C;3：8哪里F un; yun; yuy-u unh Aun; y- uni：我们从（A2）中得出，定义一个可数映射族Sn：E E如下，对所有nP0，n x;ifx;-x;如果x结论 4.1. Sn 具有 一 独特 固定的 点 0, 即1 hy-u;JuR— JyiP- F u; yP F y; u;8 y2C：F=0g- ; 8 n P 0.无无无无无无无n由于y#f x; yuy u nAx; yx是凸形的并且下半连续设n为最后一个不等式，由式（3.7）和式（A4），我们有Fy;p≤0;8y2C：对于t，0t 1，y2C，设yt<$ty =1-ttp。<<以来y2C和p2C，则y2C，因此F<$y;p <$≤ 0。所以从证据 结论是显而易见的。 H结论4.2. S1是一个 相 对 可数的¼在泛函G的意义下的拟非扩张映射。证据我们只需要证明G0;JSn x6G0;Jx;8x2E. 注意，E1/4l是一个希尔伯特空间，对于任何nP0（A1）我们有0 ¼Fy t;y t6tFy t;y 1-tFy t;p6tFy t;y。除以t，我们得到Fy t;yP 0;8y2C。别-别！0，由（A3）可得Fp;yp 0;8y2C。 所以，p2GMEP=F;u。因此，我们得到p2C.我们可以推导G0; JSn x6 G0; Jx8 x2 E; （）/0; Snx6/0; x0;最后，我们证明了p/fx0。事实上，把x/Pfx0。2 2 2 2fCC（）k0-Sn xk6k 0-xk;（）kSnxk6kxk：根据xn1<$PCn1x0和x<$2Cn1，我们 有Gxn1;J x06Gx<$;J x0;8nP0. 我们知道，当u是下半连续的时，G<$n;u<$n关于n是固定。这意味着Gp;Jx06lim infGxn1;Jx06 lim supGxn 1;Jx0这意味着结论4.4成立。H结论4.3.Sn1n<$40在泛函G意义下不是可数的相对非扩张映射族.你好！16Gx<$;Jx0：你好！1证据显然，fxng弱收敛于x0，因为xPfx0，所以sopx。因此，xn！ Pfx0。H4. 示例kx n-S n x nk <$$>k n<$1 x n-x nk <$1 kx nk！0的整数;作为n！ 1，sox0是fSng1n0的渐近不动点。结合结论4.3，我们可以得到1F<$Sn在本节中，给出了两个例子来支持我们的结果。FbfSng1n0。 H不超过1000例1. 设E12，其中1结论4.4. fSng1n¼0 是一个可数族，l2¼fn¼n;n;n;.. . ;n;。. . X：Xjxj21g;闭相对拟非扩张映射123Nnn1证据事实上，对于任何强收敛序列fzng <$E，.！12使得z n！ z0和kzn-Snznk！ 0为n！ 1、存在knk¼1n1 JNNJ2;8n2l2;充分大的自然数N，使得znn;m>N（由于xn不是柯西序列，因此它不能收敛于E中的任何元素）。则对于n>N，hn;gi <$X1ng;8n<$fng;g<$fgg 2l2;n2N：它由kz n-S n z nk得出！0那个2 z n！ 0，因此z n！z为0½ 0。.¼n公司简介n1Σ极大单调算子广义混合平衡问题的公共元逼近333¼2fg¼¼2Tfgn1kx n-T n x nk！ 0为n！ 1，必须有x01/21n1FTn.n首先，我们证明了Sn1n0是可数的一致闭相对拟非扩张映象族在泛函G的意义下，不是相对非扩张映射的可数族。H现在，我们给出一个例子，它是一个可数族的一致闭拟非扩张映射，但不满足条件UARC.例如2. 让Xffi2.为任何复杂数x reih X，定义一个可数的非扩张映射族如下，T：rei h！reihnp;n2N：证据 很容易看出1名外勤人员0的情况。¼我们首先证明Tn是一致闭的。事实上，对于任何强收敛序列fxng <$X，使得xnT！x0和þ1[8] D. Butnariu，S. Reich，A.J. Zaslavski，自反Banach空间中非线性算子轨道的弱收敛，数值计算。 功能Anal.最佳。24（2003）489-508。[9] Y. Censor ， S. Reich ， Iterations of paracontractions andfirmlynonexpansive operators with applications to flexibilityandoptimization，Optimization 37（1996）323-339.[10] S. Matsushita，W.Takahashi，Banach空间中相对非扩张映射的一个强收敛定理，J. Approx. Theory 134（2005）257-266.[11] 苏永福，徐宏坤，张欣，两个可数弱相对非扩张映象族的强收敛定理及应用，非线性。 Anal. 73 （ 2010 ） 3890-3906。[12] B. 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