基于邻域近似运算的覆盖粗糙集模型及其拓扑结构比较研究

-Journal of the Egyptian Mathematical Society（2015）23，535埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joems审查文件关于覆盖逼近空间的推广法医Abd El-Monsef，A.M. Kobalek，M.K. El-Bably*埃及坦塔大学理学院数学系接收日期：2014年5月7日;修订日期：2014年11月21日;接受日期：2014年2015年2月3日在线发布摘要本文提出了一种新的基于邻域近似运算的覆盖粗糙集模型。事实上，我们已经对W引入了推广。Zhu走近（Zhu，2007）。基于由二元关系导出的邻域概念，定义了四对不同的对偶逼近算子，并讨论了它们的性质.这些运营商之间的关系进行了研究。最后，一个有趣的定理，以产生不同的拓扑结构。这些拓扑结构之间的比较进行了讨论。此外，几个例子和反例，以表明反连接的调查。数学潜规则分类： 54A05; 03E20; 97R20; 68U01; 68U35？2015制作和主办Elsevier B.V.埃及数学学会的代表内容1.导言. 5362.基本概念5363.广义覆盖近似空间5384.不同类型的Gn CAS 5405.从邻域导出的拓扑5426.结论和未来工作544致谢544参考文献544*通讯作者。电子邮件地址：monsef@dr.com（M.E. Abd El-Monsef），akozae55@yahoo.com（A.M. Kobarn），mkamel_bably@yahoo.com（M.K. El-Bably）。同行评审由埃及数学学会负责http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2014.12.0071110- 256 X？ 2015制作和主办Elsevier B. V.埃及数学学会的代表制作和主办：Elsevier关键词覆盖;覆盖近似空间;广义覆盖近似空间;粗糙集;拓扑536法医Abd El-Monsef等人G-G-1. 介绍为了提取隐藏在海量数据中的有用信息，除了经典逻辑之外，还提出了许多方法。这些包括模糊集理论[2]，粗糙集理论[3]，用词计算[4粗糙集理论是由Pawlak在20世纪80年代初提出的[3，9]，是一种处理不确定性和不完全信息的数学工具从那时起，我们已经目睹了一个系统的，世界范围内的增长的兴趣在粗糙集理论[10如今，事实证明，这种方法对人工智能和认知科学至关重要，特别是在数据挖掘、机器学习、决策分析、知识管理、专家系统和模式识别等领域。粗糙集理论基于这样一个假设，即一个宇宙中的某些元素可能是不可识别的，因为这些元素的可用信息是不可识别的。因此，不相容关系是粗糙集理论的出发点。这种关系首先由等价关系来描述，即两个元素通过该关系相关联，当且仅当它们彼此不可辨别。在这个框架中，粗糙集是论域的一个子集的形式近似，它由一对等价类的并集给出子集的上下近似。然而，等价关系作为不可区分关系的要求在许多应用中受到太多的限制。换句话说，许多实际数据集不能很好地处理经典粗糙集。在经典粗糙集的某些扩展中，等价关系被推广到特征关系[35-另一种方法是松弛的划分所产生的等价关系的覆盖。宇宙的覆盖被用来构造宇宙的任何子集的下近似和上近似[11，15，19，25，50]。在文献中，已经提出并研究了几种不同类型的基于覆盖的粗糙集;例如，参见[1，23，26，51覆盖是拓扑空间中的一个基本概念，在拓扑性质的研究中起着重要的作用。这从拓扑学的角度激发了对覆盖粗糙集的研究。在这一过程中，已经进行了一些初步尝试。例如，Zhu和Wang在[34，55]中研究了覆盖广义粗糙集的上下近似运算的拓扑性质。Wu等人将拓扑空间的概念结合到粗糙集中，然后讨论了拓扑粗糙空间的性质[56]。在[1]中，邻域，拓扑学中的另一个基本概念，被用来定义上近似;这种类型的覆盖粗糙集的近似运算的一些性质也被探索[1，24，52，57]。所以，我们可以说有两个方向（见图）。 1.1）对于粗糙集理论的推广，其中一个方向是用任意的二元关系代替等价关系，如Yao [58];另一个方向是用等价关系代替划分来覆盖论域，如Zakowski [45] ，Pomykala [28] 和WillimZhu [1]。但大多数粗糙集理论都没有达到原始粗糙集理论的所有性质，因而提出了一些条件和限制。图1.1[59]：近似算子的不同公式的示意图。在本文中，我们介绍了一个框架generalizing这两个方向。实际上，我们引入了广义覆盖近似空间此外，在我们的方法中，CAS，四个不同的近似，满足所有性质的原始粗糙集理论没有任何条件或限制。大多数现实生活中的情况需要某种近似来拟合数学模型。在近似中使用拓扑的美丽是通过获得定性概念（即子集）的近似而无需编码或使用假设来实现的。一般拓扑学是每一个由关系连接的集合的适当的抽象模型。关系被用于几个领域的拓扑结构的构建，如结构分析[60]，时空的一般观点[61]，生物化学[62]，生物学[63]和粗糙集理论[3，9]。最近，一些拓扑概念，如子基，邻域和分离公理已被应用于研究覆盖粗糙集。然而，覆盖粗糙集上的拓扑空间及其相应的拓扑性质还没有得到研究。本文对其中的一些问题进行了研究。本文介绍了从任意邻域空间生成不同的一般拓扑的新方法。 该方法可以被认为是一种简单的方法，直接从二元关系生成不同的拓扑结构，而无需使用子基或基。所使用的技术是有用的粗糙上下文或基于覆盖的粗糙集，因为生成的拓扑的概念和性质可以应用于粗糙集理论和基于覆盖的粗糙集理论。我们认为，这种方法在应用上比较简单，对许多拓扑概念的应用都是有用的在未来的研究中。这一研究不仅为拓扑学在覆盖粗糙集上的进一步应用奠定了理论基础，而且对粗糙集理论和人工智能的发展具有重要意义。2. 基本概念在本节中，我们介绍了本文使用的基本概念。定义2.1. ‘‘设A和B是集合，则从A到B的(or在A和B之间，A是笛卡尔乘积A×B的子集，关于覆盖逼近空间的5371/4加仑/加仑2 g）（二）22ðÞ2 9 2半]1/2 G一个四分之一hCi;仲裁号即有序对的集合a;b<$2R，使得a2A和B2B。二元关系R可以是从集合A到自身，然后我们说R是A上的二元关系。此外，如果R是从A到B（或从集合到自身）的二元关系，我们说a2A与b2B相关，如果a;b<$2R，有时写为定义2.2. ‘‘让R被一关系从一到B.则R-lb;aa;bR 是从B到A的关系，它被称为关系R的逆。定义2.3.[64]集合A上的二元关系R是：(i) 如果对于每个a A;b A;aRb，则为串行。(ii) 对于每个a;aRa，(iii) 对称的，如果对于每个a;b A;如果aRb bRa。(iv) 及物如果为每个a;b;c A;如果aRb和bRc aRc。(v) 如果是自反的、对称的、传递的关系，则是等价的。定义2.4[65]。设U是任意集合，R是U上的任意二元关系.然后是“”foreset“”）的元素x 2 U是的类xR1/2 fy 2U：xRyg（相应地，Rx1/4 fy 2U：yRxgallery.定义2.5[66]。拓扑空间是由满足以下条件的集合U和U的子集族s组成的对U;s∈ U(T1); 2s和U2s。(T2)s在有限交集下是闭的。(T3)s在任意并集下是封闭的。对U;s被称为定义2.6. ‘‘设U是一个有限集合，即论述论域，R是U上的一个等价关系，称为不可分关系。对U;R称为Pawlak逼近空间。关系R将在U上生成一个划分U=R x R：x U，其中xR是关于包含x的R的等价类。对于任何X<$U，上近似Apr <$X <$和定义2.7. ‘‘设U是一个论域，C1/2fCkjk2Kg是U的子集族。如果C中没有子集是空的，且[k2KCkU，则C称为U的覆盖。对hU;Ci称为从上面的定义可以得出，U的任何划分都肯定是U的覆盖。为了方便起见，一般覆盖（不一定是划分）的成员在文献[1，11，15，19，23，25，26，50，53]中，有几种由覆盖诱导的粗糙集。为了我们的目的，我们只回顾基于以下邻域概念的覆盖粗糙集[1]。定义2.8[1]。设hU; Ci是一个“覆盖逼近空间”. 对于任何x2 U，我们将x的邻域定义为：Nx\fK2Cjx2Kg。定义2.9[1]。设hU; Ci是一个覆盖逼近空间. 对于任何X 2U，X的下近似定义为：Xω1/2[fKjK2 C andK<$Xg和 的上近似的X 是定义为：Xω^Xω[f Nx j x 2 X-X ωg.备注2.1.显然，我们可以给出上近似的另一种表示，如下所示：Xω1[fNxxx2Xg：上述表示在[1]中得到了证明。下面的命题介绍了在[1]中证明的上述近似的基本性质。2.1[1]. 设U;a是一个覆盖逼近空间.而对于任何一个X，Y，U，都是较低的。X的上）近似具有以下性质：(i) Uω¼U。定义了子集X的下近似Apr<$X<$(ii) Xω X ω。分别为[3，9]：Apr2000X2000\fY2000U=R：Y\XApr2000X 2000[fYU=R：YXg.设X是空集，Xc是X在U中的补集，我们有Pawlak粗糙集的下列性质(iii) ;ω;。(iv) Xω(v) Xω<$X<$Xω.(vi) X<$Y）Xω<$Yω。(vii) X[Y(viii) X<$Y）Xω<$Yω。（L1）Ap rX½Ap rX]。(L2)四月，美国。(L3)2017年4月X\Y季度四月十日\四月七日（L4）2014年4CC（U1）Ap rX½Ap rX]。(U2)四月，美国。(U3)2009年4月X[Y]AprX[AprY.（U4）2014年4月X\YC C(L5)如果X=Y，则2008年4月X日[2008年4月Y日]。(U5)如果X=Y，则四月十日\四月七日2016年4月20日(L6) 四月;四月;。（L7）2007年4月X日(L8)4月20日4月20日X月20日4月20日X月20日。AprX 4月27日。(U6) 四月;四月;。（U7）X4月X。(U8)4月20日4月20日X月20日4月20日X月20日。538法医Abd El-Monsef等人RRRRR1/4fgRG-;RG-G-hR CiG-hR CiR2ð ÞR2ð ÞRR备注2.2.以下属性通常不成立：(i) X\Y(ii) -(iii) -Xω -Xω。(iv) - --(v) -下面的例子说明了这一点。实施例2.1.设hU; Ci是覆盖逼近空间，其中U^fa;b;c;d g，K1 1/4 fa;b g;K2 1/4 fa;b;c g;K3 1/4 fc;d g使得C 1/4 fK1;K2;K3g.现在考虑X<$fa;b;c g和Y<$fc;d g。从而得到从上面的引理中，我们可以注意到：如果（resp。-1是U上的序列关系，则x（resp.x表示左覆盖（相应地，右盖）。注3.1.如果是U上的序列关系，则x不需要是U的右覆盖，如下例所示。实施例3.1. 设U a;b;c;d和是U上的序列关系，其中，R fa;a;b; a;b;c;c;c; d;a g.从而得到a R <$f a g; b R <$f a; c g; c R <$f c g和d R <$f ag。此 外，R a ¼ f a; b; d g; R b ¼;; R c ¼ f b; c g和R d¼;。 很明显：U- [ x 2 U x R，但U 1/4 [ x 2 U Rx。以下定义非常有趣，因为它引入了不同类型的邻域（由任何X\Y<$fc g;所以X\Y<$ωXω| Yω- ;.1/4;. 但是Xω<$X和Yω <$Y，所以二元关系），它们代表了我们方法中的基本概念。也可以是-Xωfd g ω fc;d g通过类似的方式，我们有：-X;定义3.3.设三元组hU; R;Cn i是Gn-CAS.对于每个元素x2U，我们可以定义四个不同的这意味着，ω-ω邻域Nj<$x <$，如下：对于每个j2fr;l;i;u gK2Crjx2Kg.3. 广义覆盖逼近空间在这一节中，我们引入了一个新的广义覆盖逼近空间nCAS是利用二元关系对覆盖近似空间的推广。此外，我们给出了一些新的概念的邻里。此外，研究了四对不同的对偶逼近算子，并给出了它们的性质。正在讨论的问题。我们的方法和其他一些方法之间的比较进行了讨论。提供了许多例子和反例定义3.1.设U然后，我们可以定义由二元关系R导出的U的两个不同覆盖，如下所示：阿吉什右覆盖（brie covery，r-cover）：Cr ¼fx R：8x2U和U1/4 [x2UxRg.左覆盖 (brie很好， l-盖）：C l¼fR x：8 x 2 U和U1/4 [x2URx g.定义3.2.设U-1则三元组hU; R;Cn i称为引理3.1. 设U为任意集合，R（resp. R-1是U的一个序列关系。 然后我们得到：U 1/4 [x2 U R x（resp. U 1/4 [x2Ux R 2]K2Cljx2Kg. iiiiv注3.2. 在n中科院，U; ;n，如果是等价的，在U上的Lence关系，因此，U已成为U上的一个分区，因此它们是等价的关系R的等价类。此外，x;N j <$x <$0的所有j -邻域对于每个j 2 fr;l;i;u g，都与x的等价类相同，即：Nj<$x<$1/2x]R;8j2fr; l; i; ug 。因此 ，在 这种 情况下 ， nCAS;Ui;n 已成 为Pawlak近似空间。因此，我们可以说，Pawlak方法代表了我们的方法的一个特殊情况。 因此，nCAS表示Pawlak逼近空间的推广。引理3.2. 设三元组h U; R;Cn i为Gn-CAS.因此，对于每个j 2 fr; l; i; u g：iN j x-; ; 8 x 2 U：ii x 2 N j x; 8 x 2 U：证据 根据定义3.1和3.3，8 x 2 U;至少存在y 2 U使得x 2 y R和x 2 R y。 因此，N jx-; ; 8 x 2 U。同样地，x 2 N j x; 8x 2U。H引理3.3. 设三元组h U; R;Cn i为Gn-CAS.因此，对于每个j 2 fr;l;i;u g，如果x 2 N j y，则N j xN j y。证据如果x2N y;则Nx N y：证据 让R 被一串行关系对你，然后对于每个x2U; 9y 2U;xRy.因此，对于每个x2U; 9y 2U;，使得y2xR，这意味着U1/4 [x2URx]。通过类似的方法，我们可以证明，如果R-1是U上的一个序列关系，则U ^[x2 Ux R。 H首先，根据定义3.1和3.3，如果xN r y则x属于每个包含y的后集合。现在，让z Nr x，那么z属于包含x的每个后集，这意味着z属于包含y的每个后集。因此z2N ry然后NrxN ry。关于覆盖逼近空间的539联系我们hR CiG -Ccð Þ ð Þ ð ÞR R2 fghR CiG-2 fghR CiG-R 联系我们2 fgRhR CiG-RLLJJJiidAjRjAjjRjAjA的基数哪里 jR jA j 和 jA j 表示所述iii首先，如果x2Niy，则x2Nry和x2Nl y。因此，通过使用i和ii，我们得到NN和NN，这意味着备注3.3从上述定义，我们注意到：(i) 显然，对于每个A U，06djA61。(ii) A是j-正合集，如果dj ≠ A ≠ 1，B j ≠ A ≠ 1. 否则是J-RoughSet。我是你的朋友。如果x2N u y;那么NuxN uy：通过类似于在第三章H引理3.4. 设三元组h U; R;Cn i为Gn-CAS.因此，对于每个j 2 fr;l;u;i g：N，j x表 示 U; 8 x 2 U的不同覆盖。证据根据引理3.3，x2N j x; 8x 2U。 则U1/4[x2UNj<$x<$;8j2fr; l; u; ig，因此Njx表示U; 8 x 2 U的覆盖。H下面的命题介绍了不同类型的j-邻域之间的关系。3.1号提案设三元组h U; R;Cn i为Gn-CAS.然后，对于每个x 2U：(i) Nix NrxN ux。(ii) N i xN l xNux。证据从定义3.3来看，证明是显而易见的。H下面的定义非常有趣，因为它引入了新的近似算子作为对下面的命题介绍了j-逼近的基本性质.提案3.2. 让三重U;n是nCAS和A;B= U。然后(1) Rj A AR j A。(2) Rj U Rj U U。(3) Rj; Rj;;：(4) 如果AB，则RcjcARjBc; RjARjB。(5) 其中A是A的补数。(6) RjARjA];其中A是A的补数。(7) RjRjARjA和RjRjARjA。(8) RjA\BRjA\RjB和RjA[BRjA[RjB。(9) Rj<$A<$[Rj <$B<$$>Rj<$A [B <$]和Rj<$A\B<$$>Rj<$A<$\Rj<$B<$。证据 首先，从定义3.4，证明1; 2 和 3是显而易见的。(4) 设A <$B; x 2Rj<$A<$. 那么x2A和Nj <$x<$A，这意味着 x2B 和 Nj <$x<$B 。 因 此 ， x2Rj<$B<$ ，意 味RjARjB。 通过 的 相同 好了，Pawlak近似。jAj湾。(5)½RAc]c½fx2UjNx\Ac¼;g]fx 2U j N定 义3.4.假 设 三元 组 Ui;n 是 nCAS 。 对 于 每 个 j r;l;i;u和A<$U，A的j-下近似和j-上近似分别定义如下：Rj A fx2A jN jxA g和R=A= fx 2U jN = xAAc¼;g¼fx 2AjNjxAg¼RjA。(6) 以同样的方式;如在2005年。(7) 首先，很明显RjRj。现在，令x 2RjA。 那么x2A和Nj<$x<$A 。 我 们 必 须 证 明 x2Rj<$A<$ 和Nj<$x<$Rj<$A<$如下：设z2N j<$x <$，则N j<$z<$$> N j<$x<$，（由引理3.3），jj蕴涵NjA。因此z2Rj<$A<$，这意味着定义3.5. 设三元组hU; R; Ci是G-CAS 和NjxRjA。因此，RjRj，然后nnRjR j ARjA。一个大的。因此，对于每个j2fr;l;i;u g，子集A被称为‘‘ 否则，A称为定义3.6. 假设三元组U; ;n 是 nCAS.对于每个j r;l;i;u和A<$U，A的j-边界，j-正和j-负区域分别定义如下：B A R A-RA(8) 以同样的方式;如在2007年。(9) 设 x2<$Rj<$A< $ \Rj<$B<$$> ， 则 x2Rj<$A<$ 且x2Rj<$B<$. 因此x 2A; NjxA和x 2B; N jxB这意味的x2A\B ，NjxA\B 。然 后x2Rj<$A\B<$，这意味着Rj<$A<$ \Rj<$B<$<$Rj<$A\B<$。现在，让x2Rj<$A\B<$，然后 x2<$A\B<$ 和 N j<$x<$N<$A\B<$ 。 因 此 ，x2A;Nj<$x<$A和x2B;N j<$x <$B，意味x2RjA和x 2RjB。那么，x2Rj<$A< $ \Rj<$B<$和因此，在本发明中，RjA\BRjA\j j jRjB。因此，RjA\BRjA\RjB。同样地，POSj AR j A andNEGjAU-R j A定义3.7. 假设三元组U; ;n是nCAS.对于每个j r;l;i;u和AU，A的近似的j-精度定义如下：RjA [B]RjA [RjB]。(10) 因为A → A [B]和B → A [B]。 则R j<$A <$$> R j<$A[B] 和Rj<$B<$$>Rj<$A[B<$和因 此Rj<$A< $ [Rj<$B<$$>Rj<$A[B<$.类似地，Rj<$A\B<$$>Rj<$A< $ \Rj<$B<$。H在上述命题中，性质（10）的逆命题一般不成立，如下面的例子所示。C540法医Abd El-Monsef等人¼G-G-G--表3.1我们的方法和其他一些方法之间的比较。 符号ω表示属性已满足。[2019 - 05- 15][2019 -05 - 15][2019 - 05 - 05][2019 - 05 - 05][2019 - 05 - 05关于Pawlak[3，9]（L1）（L2）（L3）（L4）（L5）（L6）（L7）（L8）（L9）（U1）（U2）（U3）（U4）（U5）（U6）（U7）覆盖[1，57，59]Gn-CAS**************************************实施例3.3.设三元组hU; R; Cn i为Gn-CAS，其中U1/fa;b;c;d;e g和R 1/fa;a n; a n;d n;bn; a n;b n;c n; c n;d n;e n;e n; b n;c n; d n; gn。然后我们得到Nra fa g;N r b fb;d g;Nr c fc g;Nr d fd g和N r efe g。我们会给Rc fb g和Rd fb g，这意味着Nra fa g;N r b fa;b g;Nr c fc;dg;N rd fc;d g;Nl a fa g;N l b fb g;Nlc fa;c;d g;N l d fa;c;d g，Na fa g;N b fa;b g;N c fa;c;d g;N d fa;c;d gj-近似在j r的情况下，其他情况类似：现在我想，让X¼ fa;b;c g和Y¼ fc;d g.然后X[Y] f a; b; c; d g; X\Y] f c g，因此R r = X[Y] f a; cg;R r = Y] f c; d g; R r = X [Y] f a; b; c; d g; R r = X [ Y] f a;b; c g; R r = Y] f b;c;d g和R r = X\Y] fc g。 显 然， Rr<$X[Y <$–注3.3. 命题3.2非常有趣，因为它表明我们的方法nCAS代表了Pawlak近似空间的实际一般化，特别是基于覆盖的模型。此外，它可以被认为是我们的方法与其他一般化方法之间的差异之一，例如（见：[1，57，59，67尽管许多作者们引入了许多种对Pawlak近似空间的推广，但大多数都未能实现原始粗糙集理论的所有性质。在我们的方法中，这些从未实现过的性质中的大多数都实现了。因此，我们可以说，我们的方法代表了Pawlak逼近空间[3，9]和[1，57，59，67-79]中其他推广表3.1显示了我们的方法和其他一些推广方法之间的比较。下面的例子说明了我们的方法和姚的方法之间的比较实施例3.3.设三元组hU; R; Cn i为Gn-CAS，其中U^fa;b;c;d g和R fa;a; a; b;b; c;b;d;c;a;d;a g.然后我们可以得到：aR fa;b g;b R fc;d g;c R fa g和dR fa g：此外，Ra <$fa;c;d g; Rb <$fa g，u u u u和Nia fa g;N i b fb g;Ni c fc;d g;N i d fc;d g：Yao[58]将任何子集X<$U的近似定义如下：2009年4月20日fx 2U：xRXg和2009年4月20日 f1/4 fx 2U：xR\X下表显示了姚明方法和我们的方法'' n CAS ''之间的差异从表3.2中，我们可以看到：例如，子集f c;d g和f b; c; d g，但在我们的方法中，对于任何X U，Rj X X R j X。在Yao的方法中，U中的所有子集都是粗糙的U，但是在我们的方法 nCAS中，有许多子集是j-精确的，例如上表中的阴影集。此外，边界区域缩小，变得比姚方法更小。因此，我们可以说，我们的方法是比姚明的方法更准确。4. 不同类型Gn-CAS之间的关系本节专门介绍不同类型的nCAS之间的比较。此外，提供了具有最佳精度的最佳方法。下面的结果分别介绍了j-逼近、j-精度和j4.1号提案设三元组h U; R;Cn i为Gn-CAS和AU. 然后关于覆盖逼近空间的541表3.2 Yao方法和我们方法的比较。(i) RuARr A RiA。(ii) R u AR l AR i A。(iii) RiARr ARuA。(iv) R i AR l AR u A。证据 设x2 R u <$A <$，则x2 A和N u <$x <$A. 因此x2A和NrA，这意味着x2R因此，Ru<$A<$$>Rr <$A <$$>：同样，如果x2Rr <$A <$，则x2A和Nr<$x<$A，这意味着x2A和Ni<$x<$A。因此，x2Ri <$A<$，然后Rr <$A<$$>Ri < $A <$。ðii Þ By similar way as in ði Þ.通过近似的对偶H如下面的例子所示，上述结果的逆命题一般不成立。实施例4.1.设三元组hU; R; Cn i为Gn-CAS，其中U^fa;b;c;d g和Rfa;d; b; b;b;c;c;b; d;a;d;c g.然后我们可以获取：Nrafa;c g;N r b fb g;Nr c fc g;Nr d fdg;Nlafag;Nlbfbg;Nlcfb;cg;Nldfdg;Nuafa;cg;Nub1/4 fb g;Nu c fb;c g;Nu d fd g和Nia fa g;N i b fb g;Ni c fc g;N id fd g。现在，设A/fc;d g。然后我们得到RuA fd g;但是RrAfc;d g：同样，如果Bfa;d g，那么RrB fd g;但是RiBfa;d g。类似地，如果D^fa g，则Ru^D^f a g;但Rl^D^fa g。此外，R l A fb;c;d g和Ru A fb;c;d g，但R i A fc;d g.类似地，Ri B fa;d g但R r B fa;c;d g和R u B fa;c;d g.推论4.1。 设三元组h U; R; Cn i为Gn-CAS和A U.然后是iB i AB r A B u A。ð ii Þ B i ð A Þ Ç B l ð A Þ Ç B u ð A Þ.证据通过使用命题4.1，证明是显而易见的。H推论4.2。 设三元组h U; R; Cn i为Gn-CAS和A U.然后我就去你家了。你知道吗？你知道吗？证据 通过使用命题4.1和4.2，证明是显而易见的。H542法医Abd El-Monsef等人¼FGG-hR CiG-ð Þ ð Þ 8 ¼ð Þ ð Þ 8 ¼UhG-和2 NNhR Ci;^^hCi如例4.1所示，上述结果的逆命题一般不成立。4.2号提案 让三重U; ;n被nCAS和AU。那么以下陈述一般都是正确的：(i) A是u-正合的）A是r-正合的）A是i-正合的。(ii) A是u-精确的）A是l-精确的）A是i-精确的。证据 设A是u-正合的，则B u ∈ A; 利用推论4.1，我们得到B r;这意味着A是r-正合的。也是B iA;，这意味着A是i-正合的。ðii Þ By similar way,as in ði Þ.H如下面的例子所示，上述命题的逆命题一般不成立。实施例4.2. 在示例4.1中， 一 我是准确的，但它是r-粗糙，l-粗糙和u-粗糙。注4.1. 从上面的结果中我们可以注意到：有四种不同的方法来近似集合。这些方法中最好的是在构造集合的近似时使用j i给出的方法，因为在这种情况下，边界区域通过增加下近似和减少上近似而减少或取消，即对于每个A<$U;Bi A<$BjA;j r;l;u。因此，这将对消除不确定性起到重要作用粗糙集的不确定性 此外，这种方法比别人类型，以来为任何子集A∈U;djA6diA和j r;l;u.因此，这种方法有助于提取和发现数据中隐藏的信息这是从现实生活中的应用程序收集，因此它是非常有用的决策。5. 邻域诱导拓扑最近，一般拓扑已成为一个适当的框架，为每一个集合连接的关系。 应该注意的是，通过关系生成拓扑和通过关系表示拓扑概念将缩小拓扑学家和那些对拓扑在其领域中的应用感兴趣的人之间的差距。 在本节中，我们介绍了一种新的方法来产生不同的拓扑结构，通过使用邻域的概念。 利用这种技术，我们从二元关系中生成不同的拓扑，然后从二元关系中生成不同的四个拓扑。nCAS。这些拓扑之间的关系-ogies讨论。 许多例子和反例以指示这些拓扑之间的连接。下面的定理是非常有趣的，因为它给出了新的方法来产生一般拓扑使用的概念邻域。此外，所使用的技术不依赖于邻域的形式。该技术为基于覆盖的粗糙模型的更多拓扑应用开辟了道路。定理5.1. 假设你-凡所有相，皆是虚妄。存在邻域p使得p<$U。则收集s<$fAU j8p 2A; N pA g是U上的拓扑：证据（T1）显然，U和;属于s。(T2)设fAkjk2Kg是s中的元素族，设p2 [k2KAk.则存在k02K使得p2Ak0.因此，NAk0，这意味着N[k2KAk。因此，[k2KAk2s。（T3）设A1; A22 s且p2 A1\A2.那么p2A1和p2A2意味着NA1和NA2。 因此N p A 1\A2，然后A1\A22 sj。因此，s是上的拓扑。通过使用上述定理，我们可以从n个CAS生成四种不同的拓扑，如以下推论所示。推论5.1。设三元组h U; R;Cn i为Gn-CAS.然后，与G n-CAS相关联的拓扑由以下族给出：sj^f AU j 8 p 2 A;N j pA g，对于每个j 2 f r;l;u; i g。下面的例子给出从覆盖近似空间生成一般拓扑，如下所示。实施例5.1.设U是覆盖逼近空间，其中Ua;b;c; d和a;a;b;b;c;d。然后给出U的元素的邻域（使用定义2.8[1]），如下：Na fa g;N b fb g;Nc fb;c g和Nd fd g。通过使用命题5.1，hU; Ci的相关拓扑由以下类给出：s¼ fU; fa g; fb g; fd g; fa;b g; fa;d g; fb;c g; fb;d g; fa;b;cg; fa;b;d g; fb;c;d gg：给出以下示例以如下从Gn-CAS生成不同拓扑。实施例5.2.设三元组hU; R; Cn i为Gn-CAS，其中U^fa;b;c;d g和R fa;a; a; b;b; c;b;d;c;a;d;a g.然后我们可以获取： Nrafa g;N r b fa;b g;Nrc fc;d g;Nrd fc;d g;Nl a fa g;N l b fb g;Nlc fa; c;d g;Nl d f a;c;dg;Nu af a g;Nu b fa;b g ;Nu c fa;c;d g;Nudfa;c;d g ; N u dfa;c;d gNia fa g;N i b fb g;Ni c fc;d g;N i d fc;d g：然后，与Ui;j相关联的拓扑由类给出：sr<$fU;;; fa g; fa;b g; fc;d g; fa;c;d gg;sl <$fU;;; fa g; fbg; fa;b g; f a;b g; fa;c;d gg;su <$fU;; ;;; fa g; fb g; fa;b g;fc;d g; fa;c;d g; fb;c;d gg。关于覆盖逼近空间的5432 fgJJJJJJ定义5.1.设三元组hU; R;Cn i是Gn-CAS，与拓扑sj相关联. 那么对于 每个j2 fr;l;u;i g，子集 如果A2为j，则称A2U为j-开集，j-开集的补集称为j-闭集.Gn-CAS的所有j-闭集的族Cj定义为：Cj<$FFUjFc 2sj g：备注5.2.设三元组hU; R;Cn i是Gn-CAS，与拓扑sj相关联.那么下面的陈述在一般情况下并不一定是正确的。我的天啊阿利什岛备注5.3. 设三元组hU; R; Cn i是Gn-CAS伴随的定义5.2. 设三元组hU; R; Cn i是Gn-CAS伴随的具有拓扑sj。然后，对于每个j r;l;u;i，我们分别定义拓扑sj中任何子集A<$U的j-内部和j-闭包如下：intj A [fG2sj jGA g，Cl-[2-（2-甲基-2-苯基）-2-甲基-2-（2-甲基-2-苯基）-3-甲基-3-（2-甲基-很明显，intAA clA对于任何AU。此外，本发明还提供了一种方法，具有拓扑sj。那么sr和sl不一定是可比的。以下示例显示备注5.2和5.3。实施例5.3.设三元组hU; R; Cn i为Gn-CAS，其中U^fa;b;c;d g和Rfa;d; b; b;b;c;c;b; d;a;d;c g.然后我们可以获取：intjA（resp. clj<$A<$）是A中包含的最大j-开集（分别）最小的j-闭集包含A。5.1号提案设三元组h U; R;Cn i是G n-CAS，与拓扑sj相关联.然后是J-下近似（分别为）。J-上近似）表示J-内部（相应地，的sr¼ fU;fbg; fc g; fd g; fa;c g; fb;c g; fb;d g; fc;d g; fa;b;c g;fb;c;d g; fa;c;d gg;sl¼ fU; fa g; fb g; fd g; fa;b g; fa;d g; fb;c g; fb;d g; fa;b;c g;fa;b;d g; fb;c;d gg;和si¼ PU。j-闭包）;即：Rj<$A<$$> fx 2A jNj <$x<$Ag <$intj<$A<$和命题 5.3. 让 的 三重 hU; R; Cn i 被 Gn-CASRj Afx 2U jN jx\A- ;g cl jA证据我们将通过近似的对偶性证明第一个陈述和第二个陈述：首先，设x2R A。则x2A;N A这意味着A2sj使得x2A.因此，根据定义5.2，AintjA，然后x2int jA。因此RjAint jA。相反，从定义5.2，因为intj<$A<$是包含在A中的最大j-开集，那么8x 2intj <$A <$;Nj<$x <$<$intj<$A <$，这意味着x2A;Nj <$x <$A，然后x2Rj <$A<$。因此intjAR j A，相应地RjAint jA。H推论5.2。 设三元组h U; R; Cn i是G n-CAS，与拓扑sj相关联.则对于每个j 2 fr;l;u; ig，子集A∈U是j-开集（分别为j-闭集），若Rj A A（分别R j A A）。备注5.1.根据上述结果，我们可以引入另一种方法来生成由关系导出的不同拓扑：对于每个j2fr;l;u;ig，sj<$fAU jRj <$AAg是U上的拓扑。下面的命题介绍了不同拓扑sj之间的关系。5.2号提案设三元组h U; R;Cn i是G n-CAS，与拓扑sj相 关 联.然后：i srsi。阿利什岛证据让A2s r然后8p 2A;N rpA.因此，8p 2A;NipA，这意味着A2si。所以我才是。类似地，我们可以证明，关联 与 拓扑 sj。 Then：Then. [医]湖阿利什岛证据设A2su，则8p2A;Nu <$p<$A.因此，在本发明中，8p 2A;Nr <$p<$A和Nl<$p <$A，这意味着A2sr和A2sl。因此，susr和susl。通过使用命题5.2，我们可以得到susi：h备注5.4.设三元组hU; R;Cn i是Gn-CAS，与拓扑sj相关联.那么下面的陈述一般都不正确。阿利什河我的 天啊！阿利三岛以下示例显示备注5.4。示例5.4.设三元组hU; R; Cn i为Gn-CAS，其中U^fa;b;c;d g和R fa;a; a; b;b; c;b;d;c;a;d;a g.然后我们可以获取： sr<$fU;;; fa g; fa;b g; fc;d g; fa;c;d gg;sl <$fU;;; fa g; fbg; fa;b g; fa;c;d gg;su <$fU; fa g; fa;b g; fa;c;d gg和si <$fU; fa g; fb g; fa;b g;fc;d g; fa;c;d g; fb;c;