可在www.sciencedirect.com上在线ScienceDirect电气系统与信息技术学报1（2014）95具有极点配置的稳定预测控制器设计DanielVozák，VojtechV esely'机器人和控制论研究所，电气工程和信息技术学院，斯洛伐克技术大学，Br atislava，Ilko vico va3，81243Br atislava1，Slo vakia2014年7月10日在线发布摘要提出了一种基于线性矩阵不等式求解的稳定预测控制器设计方法。其主要思想是用模型预测来增强状态空间模型，以获得输出和输入信号的预测值。性能指标是期望闭环极点在复平面内的圆上的位置。提供了实际实施的结构。以光强控制为例进行仿真，验证了控制器设计的可行性。© 2014制作和主办由Elsevier B.V.电子研究所（ERI）关键词：预测控制;线性矩阵不等式;极点配置1. 介绍预测控制（MPC）是一种最流行的先进控制器设计技术，广泛应用于工业应用中。在控制算法中使用预测的系统输入和输出（状态）信号的基本思想存在很多修改。其中最早的是由Richalet等人提出的模型预测启发式控制。（1978），动态矩阵控制（Prett等人， 1982）和由Clarke等人开发的广义预测控制（GPC）。（1987年，1987年）。MPC算法的广泛概述可以在Maciejowski（2002）、Rossiter（2004）、Camacho和Bordons（1999）中找到。标准MPC是一种基于优化的算法，它解决了在每个采样周期中受到约束的成本函数的最小化这样的控制器需要很大的在线计算量，并且不能保证闭环稳定性。目前有几种MPC算法可以保证稳定性甚至鲁棒稳定性。在Bemporad和Morari（1999）、Mayneet al. （2000年）的第10/2000号决议。本文介绍了基于V. V. Y′等人思想的预测控制器的基本结构和设计。（2010），Nguyen等人（2011）。带有预测模型和积分项的增广系统模型为预测控制的设计提供了一种系统化的方法。所创建的结构具有标准状态空间模型的形式，*通讯作者。电子邮件地址：丹尼尔。ozak@stuba.sk（D. Vozák），v ojtech. esely@stuba.sk（V.Vese ly'）. 电子研究所（ERI）负责同行评审。http://dx.doi.org/10.1016/j.jesit.2014.07.0032314-7172/© 2014由Elsevier B. V.制作和托管电子研究所（ERI）96D. 沃扎克河谷Vesely '/电气系统和信息技术杂志1（2014）95|+=+−ΣΣ=00I一一q（k）一q（k）xa（k+1+h）=Ah+1xa（k）+<$Ah−iBau（k+i）+<$Ah−iBww（k+i）一一具有零稳态误差，并允许使用任何公知的状态或输出反馈设计方法。虽然它的基本形式中不包含任何约束，但它为其他扩展创建了一个很好的基石本文的结构如下。在第二节中，主要问题和系统增强。第3节解释反馈增益计算。 在第4节中，解释了控制器算法的实际实现，最后在第5节中给出了光强度控制的示例。为了简单起见，将采用几种符号约定：I表示具有相应维度的单位矩阵，M> 0（M0）表示矩阵M的正（负）定性，并且标准表达式x（k+h k）被缩短为x（k+h），其表示在时间步k中计算的x的h步预测。2. 问题公式化首先，创建增强系统模型。它提供了设定点跟踪和输出预测与任意预测范围。标准的系统结构被保留，允许使用所有已知的状态空间控制器设计的标准技术。假设系统模型为x（k+1）=Ax（k）+Bu（k）y（k）=Cx（k）其中x（k）∈Rn，u（k）∈Rm，y（k）∈Rl分别是系统的状态变量、控制输入变量和输出变量（一）为了实现设定点跟踪，将积分器q（k1）q（k）w（k）y（k）添加到系统模型，并且增广系统为：哪里xa（k+1）=Aa xa（k）+Ba u（k）+Bw w（k）ya（k）=Ca xa（k）x（k）=x（k），y（k）=y（k）（二）AA0，B−C I=B（三）C=C0，B=10000对于预测x（k+2），得到：xa（k+2）=Aa xa（k+1）+Ba u（k+1）+Bw w（k+1）=A2xa（k）+Aa Ba u（k）+Bu（k+1）+Aa Bw w（k）+Bw w（k+1）ya（k+1）=Ca xa（k+1）类似地，对于时间k+h的预测为：H H一ya（k+h）=Ca xa（k+h）一i=0时一i=0时（四）假设预测范围为N，则从（4）具有模型预测的系统为：xf（k+1）=Afxf（k）+Bfuf（k）+Bwfwf（k）（5）yf（k）=Cfxf（k）（6）我一WD. 沃扎克河谷Vesely '/电气系统和信息技术杂志1（2014）9597⎢⎣⎥⎦⎢⎣⎢⎣⎥⎦⎢⎣好吧一⎣但是，0C···0a⎢AB B···0aa a=f⎢⎣Aa0···0−C f=.、⎥B - 是的、⎥一一.. . . .哪里xa（k）w（k）x f（k）=.xa（k+N），wf（k）= .w（k+N）但是，（七）u（k）⎡ya(k)⎤uf（k）= .u（k+N），yf（k）= .ya（k+N）2一Af=.AN+1一0· · ·00· · · 0⎦C a0· · · 0⎤⎢ ⎥00· · ·CaB a0· · · 0⎤⎢ ⎥... ..（八）ANBa AN−1Ba···Ba阿吉亚Bw0· · · 0Bwf=Aa Bw Bw···0AN Bw AN−1Bw· ··Bw考虑控制算法是uf（k）=FCfxf（k）（9）主要的问题是反馈增益的计算与保证闭环系统的稳定性和实际实施的控制器。3. 反馈增益控制器反馈增益的计算是基于解决线性矩阵不等式（LMI），保证稳定性。性能规格使用闭环极点位置的约束，允许改变系统输出的阻尼极点配置的主要原理是用矩阵（（Af+BfFCf）σI）/（r）代替闭环系统矩阵（A f + B f FC f），其中r为极点所在复平面上圆盘的半径，（σ设计程序使用以下（（Daafouz和Bernussou，2001; Montagner等人， 2003））定理：⎥⎦⎥⎦98D. 沃扎克河谷Vesely '/电气系统和信息技术杂志1（2014）95ΣΣ| |≤||∈∈=∈∈ΣΣ=0⎣⎦⎣ANy+1A0BA0Bf⎢⎣0定理1. 设σ +r1和σ<1.如果存在矩阵U，G和对称矩阵S> 0，使得下面的LMI是可行的：r（G+Gr−S）GrAfr+UrBfr−σGr>0（10）AfG+BfU −σG rS则闭环系统是稳定的，具有状态反馈增益F = UG−1（u f（k）= Fx f（k）），并且闭环极点位于半径为r且圆心为（σ，0）的圆的复平面内。定理2. 反馈增益F如果矩阵U和G定义如下，则R fr×f具有结构F= [F1，0]，F1R fr×fc：U=[U1，0]（11）其中U1∈Rfr×fcGG100G2中国（12）其中G1R fc×fc和G2R f−fc×f−fc。定理2允许当矩阵Cf具有结构Cf=[I，0]时设计输出反馈。请注意，存在一个变换，它可以把系统矩阵C变换成所需的形式。4. 控制器实现在实际应用中，如果系统状态不能完全测量，则需要使用状态观测器可以应用标准状态观测器结构。x（k+1）=Ax（k）+Bu（k）+LC（x（k）−x（k））（13）其中，x∈（k）是所观察到的状态。增益矩阵L可以通过ny极点配置技术来计算，或者作为最优LQ控制器设计的对偶更多细节见Skogestad和Postlethwaite（2005）。给出了方程组的直接实现方案（5）、（6）、（9）在图中。1.一、 创建的闭环保证了稳定性，并允许在实际过程中直接实施。图1中的方案的主要块。 1有以下形式。矩阵T从向量中只选择第一部分u（k）uf（k）且具有以下形式：T=I0··· 0（14）预测模型ym（k）=Cm（Bmuf（k）+Amx（k）+Bmwwf（k））（15）哪里y（k）y（k）ym（k）A2C0· · ·0- 是的⎥... . . .⎢ ⎥0 0···C（十六）A m=m。Cm= 0... ⎥⎡⎢A0B0B0···0⎤⎥B m=.Ny0.. . .BD. 沃扎克河谷Vesely '/电气系统和信息技术杂志1（2014）9599Ny−10. . . .0⎥⎦100D. 沃扎克河谷Vesely '/电气系统和信息技术杂志1（2014）95⎢⎥⎡⎤⎣⎦5. 例如通过对热光学对象UDAQ 28/LT在一个工作点上的光强的仿真，实际展示了稳定的模型预测控制器的实现。系统输入为灯泡电压，输出为光强。通过辨识得到以下状态空间模型：100美元。4200 1 0⎤⎡0⎤1 .一、3690A=100-0。05310.1mm，B=mm（十七）0 0 0C=Σ1 00Σ2002年。3910⎦考虑全状态测量是可能的。然后，用于控制器计算的矩阵C为1 0 0C=0 1 0（18）0 0 1但是只有第一状态应该跟踪设定点。因此，矩阵Aa、Ba和Ca仅添加输出y（k）。Fig. 1.闭环系统配置-实现1.D. 沃扎克河谷Vesely '/电气系统和信息技术杂志1（2014）95101⎢⎢−-0. 0000⎢⎢⎤在N= 10、r= 0.2和σ= 0.05的情况下计算的反馈增益F为等式：（十九）、-0。33980的情况。1128-0。04270的情况。00740的情况。0037F=0。0004-0。00030的情况。00000的情况。0000-0。0000-0。0000-0。0000-0。0000- 0。00000。0000- 0。0000- 0。00000。0000- 0。0000- 0。0000-0。00310. 00000。0019- 0。00 290. 0005- 0。0017- 0。00220. 0002- 0。0003- 0。00360的情况。0063- 0。0000- 0。00030. 0043- 0。00370. 00180. 0042- 0。00320. 00080. 0021-0。00370. 0000- 0。0015- 0。00000。0064- 0。0003- 0。00070. 0043- 0。00370. 00120的情况。0008- 0。00000。0001- 0。0013- 0。00370. 0002- 0。0013- 0。00010. 00640. 0001-0。00030. 0000- 0。00020. 00020. 0008- 0。00000。0001- 0。0013-0。00370. 00020的情况。00010. 0000- 0。0000-0。0001- 0。00030. 0000- 0。00010. 00020. 00080. 0000-0。00000。0000- 0。00000。00000。00010. 0000- 0。0000-0。0001-0。00030.00000的情况。0000- 0。00000。0000- 0。0000- 0。00000。0000- 0。00000。00000。0001- 0。0000-0。00000。0000- 0。00000。00000。0000- 0。00000。0000- 0。0000-0。00000。0000-0。00000。0000- 0。0000-0。0000- 0。00000。0000- 0。0000- 0。00000。00000。0000-0。0000-0。0000-0。0000-0。0000- 0。00000。0000- 0。0000-0。0000-0。00000。0000-0。0007- 0。00020. 0000- 0。0014- 0。00050. 0000- 0。0000-0。0007-0。0002- 0。0000-0。00140. 0004- 0。0003-0。0021-0。0002- 0。00020. 0001- 0。0006-0。00030. 00000的情况。0041- 0。00320. 00080. 0019- 0。00150. 0004- 0。0003-0。0022-0。0002- 0。0002-0。00060. 0044- 0。00370. 00130. 0041- 0。00320. 00080. 0019- 0。00150. 0004-0。0013- 0。00010. 00640. 0001- 0。00060. 0044- 0。00370. 00130. 0041- 0。00320的情况。0001- 0。0013- 0。00370. 0002- 0。0012- 0。00000。00650. 0001- 0。00060. 0044-0。00010. 00020. 00090. 00000。0001- 0。0012- 0。00370. 0001- 0。00120. 00010的情况。0000- 0。0001-0。0002-0。0000- 0。00000。00030. 0010- 0。00000。0003- 0。0009-0。00000。00000。0001- 0。00000。0000- 0。0001- 0。00030. 0000- 0。00010. 0004-0。0000-0。0000- 0。00000。0000- 0。00000。00000。00010. 00000。0000- 0。0001-0。0000-0。0000- 0。00000。00000。0000- 0。0000- 0。00000。00000。0000- 0。0000-0。0000-0。0003- 0。00010. 0000- 0。0000-0。0001- 0。00000。00000。0000- 0。0000-0。0000-0。0004-0。0001- 0。00000。0000- 0。0002- 0。00000。0000- 0。0000- 0。00010的情况。0001- 0。0007- 0。00030. 0001- 0。0000-0。0005- 0。00010. 00000。0000- 0。0002-0。0003-0。0022-0。0002- 0。00020. 0001- 0。0007- 0。00030. 0001- 0。0000- 0。00050的情况。00090. 0019- 0。00150. 0005- 0。0002-0。0022-0。0001- 0。00010. 0001- 0。0007-0。00370. 00130. 0042- 0。00300. 00100. 0018- 0。00130. 0007- 0。0003- 0。00240的情况。00660. 0000- 0。00040. 0047- 0。00340. 00120. 0045- 0。00270. 00120. 0016-0。00340. 0000- 0。00080. 00090. 0075- 0。00030. 00060. 0054- 0。00360. 00040的情况。0012- 0。00000。0004- 0。0008- 0。00360. 0000- 0。00070. 00240. 0105- 0。0004-0。00040. 0000- 0。00010. 00050. 00160. 00000。0004- 0。0010-0。00450. 0002（十九）-0。00000。0000- 0。0000- 0。0000-0。00000。0000- 0。0000- 0。0000-0。00000。0000- 0。0000- 0。0000-0。00000。0000- 0。0000- 0。0001⎡⎥-0。3358 -0。31600的情况。21550的情况。0000-0。00000的情况。0000-0。0000 -0。0000 0的情况。00000的情况。10730的情况。0782-0。0719 -0。00000的情况。00170的情况。00300的情况。00000的情况。00170的情况。0012-0。0407 -0。03010的情况。02720的情况。0000-0。0018 -0。0031-0。0000 -0。0018 0的情况。00050的情况。00690的情况。0048-0。0048 -0。00000的情况。00030的情况。00050的情况。00000的情况。0003-0。0016-0。0036 -0。00270的情况。00230的情况。0000-0。0002 -0。0003-0。0000 -0。0002 0的情况。00020的情况。00040的情况。0002-0。0003 -0。00000的情况。00000的情况。00000的情况。00000的情况。0000-0。0002102D. 沃扎克河谷Vesely '/电气系统和信息技术杂志1（2014）95-−-0。0000- 0。00000。0000- 0。0002-0。00020. 0001- 0。0000- 0。00060的情况。0001- 0。00020. 0001- 0。0011-0。00080. 0007- 0。0004- 0。00300的情况。00570. 00270. 00160. 00010的情况。00210. 0079- 0。00450. 0003-0。00080. 00560. 0177- 0。0002使用求解器求解LMI（Tütüncü等人， 2003）SDPT3版本4.0。⎥⎥⎦D. 沃扎克河谷Vesely '/电气系统和信息技术杂志1（2014）95103图二. 闭环极点定位。图三.模拟系统输出（蓝线）、输入（红线）和设定点（黑线）。(For关于本图图例中对颜色的引用的解释，请读者参阅该文章的网络版本。模拟结果如图所示。3.第三章。 闭环极点的位置如图所示。 二、 该图示出了• 闭环稳定，• 输出具有零稳态误差，• 极点位于半径为r且圆心为（σ，0）的圆中。6. 结论提出的预测控制器设计保证闭环稳定性。反馈增益的计算使用著名的线性矩阵不等式（LMI）条件解决，其性能由复平面中的极点位置约束来指定这种方法是可能的，因为包括一个预测模型到系统模型作为其增强。文中详细介绍了MPC算法的具体实现过程，并通过数值算例说明了该算法在光强控制中的应用。104D. 沃扎克河谷Vesely '/电气系统和信息技术杂志1（2014）95确认这项工作得到了斯洛伐克赠款机构赠款1/1241/12的支持引用Richalet，J.，Rault，A.，Testud，J.，Papon，J.，1978. 模型预测启发式控制在工业过程中的应用。Automatica14（5），413-428.Prett，D.，Ramaker，B.，Cutler，C.，一九八二年 动态矩阵控制方法。 美国专利4349869.克拉克，D.，Mohtadi角，Tuffs，P.，一九八七年 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