3D神经雕刻：编辑神经符号距离函数

45213D神经雕刻（3DNS）：编辑神经符号距离函数Petros Tzathas1Petros Maragos1Anastasios Maragos2，31希腊雅典国立技术大学电子计算机工程学院2计算机科学研究所（ICS），研究技术基金会-希腊（FORTH），希腊3英国埃克塞特大学工程、数学和物理科学学院摘要近年来，通过对符号距离进行编码的神经网络的隐式表面表示已经流行起来，并且在各种任务中取得了最先进的结果（例如，形状表示、形状重构和学习形状先验）。然而，与诸如多边形网格的传统形状表示相比，隐式表示不能容易地编辑，并且试图解决这个问题的现有工作是极其有限的。在这项工作中，我们提出了第一种方法，通过神经网络表达的符号距离函数的有效交互式编辑，允许自由形式的编辑。受3D网格雕刻软件的启发，我们使用了一个基于画笔的框架，该框架非常直观，将来可以被雕刻家和数字艺术家使用。为了局部化所需的表面变形，我们通过使用它的副本来对先前表达的表面进行采样来调节网络。我们介绍了一种新的框架，模拟雕刻风格的表面编辑，结合交互式表面采样和有效的网络权重的适应。我们在各种不同的3D对象和许多不同的编辑下定性和定量地评估我们的方法报告的结果清楚地表明，我们的方法在实现所需的编辑方面具有很高的准确性，同时保留了交互区域之外的几何形状。1. 介绍在从机械和建筑设计到计算机动画、增强/虚拟现实和物理模拟的许多不同应用中，表示和操纵表面和3D形状是至关重要的问题。因此，毫不奇怪，多年来设计的表示方法和应用一样多，也一样多样，每一种都有各自的优点和缺点。Be′ zier曲面片、B样条和子样条分割表面只是其中的一部分，最普遍的是多边形网格[20]。虽然多边形网格提供了一个有用和有效的表示，但很难建模不同的拓扑结构，因为这需要改变顶点或它们的连接性。为了克服这些限制，研究人员尝试了不同的几何表示，如体素网格，八叉树和隐式函数。由于前两者的网格（或网格状）结构，它们已用于卷积网络[11，21，40]。然而，体素网格不能实现高分辨率，即使八叉树解决了这个问题，它们也会导致锯齿状模型。近年来，由于人工神经网络的日益流行，人们提出了一类新的表面表示，即隐式神经表示（INRs）。在这种方法中，表面，这是经常需要被关闭，隐式地表示为一个水平集的神经网络与一个输出。几篇论文已经提出了非常有趣和有前途的结果，使用这种表示[31，43]。在大多数论文中，网络试图学习符号距离函数或占用函数。此外，网络可以通过将类代码与空间坐标一起作为输入来学习一个表面或一类表面与3D网格、体素网格和其他常见表示相反，INR不与空间分辨率耦合，并且可以以任意空间分辨率进行采样，因为它们是连续函数。尽管隐式表示的结果特别有希望，但其使用仍然存在局限性最重要的限制之一是形状无法轻松编辑。这是因为在这些表示中，几何结构不是以局部方式表示的。对应网络的每个权重都会影响输出空间的无界区域上的几何体这意味着，为了对3D形状执行局部修改，通常需要修改网络的所有权重。4522图1：我们的3DNS提供的形状编辑功能示例，直接作用于Neural SDF表示。第一列：原始形状以下栏目：使用各种画笔设置进行多次编辑的结果，可视化过程的中间阶段。所有的编辑和渲染都是在隐式神经表示上完成的，完全避免了三角形网格的使用。图像取自我们的交互式编辑器，该编辑器使用球体跟踪[19]来渲染神经SDF的零级集。请放大以了解详细信息，并参阅该论文https://pettza.github.io/INR的可编辑性问题是一个公开的挑战，在文献中引起了非常有限的关注Ex-technology允许某种形式的交互式编辑，通过优化馈送到网络的形状代码[13，18]或通过训练铰接对象的网络[12，27]并改变关节在任何一种情况下，编辑都被限制在学习的形状空间内，因此，这些方法不支持形状的3D几何体的任意修改为了克服上述限制，这项工作介绍了第一种允许交互 式 编 辑 INR 的 方 法 ， 特 别 是 神 经 符 号 距 离 函 数（SDF）。我们从3D雕刻的角度来处理这个问题，旨在为INR提供3D软件对标准网格表示的功能我们的方法，我们称之为3D神经雕刻（3DNS），以基于画笔的方式编辑由神经网络的零级集建模的表面。如上所述，使用前馈神经网络来表示SDF产生了局部性问题。为此，我们建议使用网络表示的表面样本来调节学习所需的变形。源代码可在https://github.com/pettza/3DNS上获得。2. 相关工作2.1. 隐式曲面表示隐式地表示曲面的想法并不新鲜。事实上，人们一直在尝试在计算机图形学和机器学习中使用隐式表示。在着色器艺术社区中，解析隐式表示已用于从简单图元渲染到复杂场景和分形对象[33]。另一方面，在机器学习社区中，早期的方法依赖于径向基函数（RBF）[6]和八叉树[15]来表达SDF。[42]的作者使用在隐式曲面上采样的点来控制其形状。最近，使用神经网络作为表达表面的函数DeepSDF[31]使用网络来表示形状的SDF（或形状类，使用ad-4523--将形状代码作为网络的输入），而另外两个[8，25]表示占用函数。从那时起，又有许多关于国际标准化比率的工作相继展开。上面引用的工作使用回归型损失函数进行训练。对于SDF，这需要在空间中的点处计算地面真实距离，这可能是困难的。已经进行了各种尝试来改造用于训练神经SDF的损失函数。SAL [2]神经SDF使用损失进行训练，然而，忽略了距离的符号，这需要仔细初始化。SAL++ [3]扩展了该方法，以利用有关曲面法向量的[1]的作者将网络函数水平集的样本合并到损失中。IGR [17]取得了进一步的进展，它使用SDF满足程函方程的事实来训练网络作为微分方程求解网络[36]，因此只需要表面边界框内的均匀样本和位于表面上的样本，而我们的损失就是由此而来的。其他作品已经尝试了网络的架构。SIREN [37]使用正弦而不是通常的正弦，在包括表面重建在内的各种任务中呈现出有希望的结果。卷积网络在[9，10]中通过离散化输入点云来使用。通过将神经网络与保留本地化空间信息的数据结构耦合，已经获得了最先进的结果。存储可学习权重的八叉树在[7，38]中使用，Instant-NGP [28]使用称为哈希编码的方法。除了高细节表示，NGLoD [38]和即时NGP [28]也实现了交互式帧率除了使用原始几何数据（如点云和网格）进行训练外，还努力训练神经网络。通过对影响形状代码的基元参数的具体化改变来实现神经SDF的精细表示。DIF [13]也可以使用类似的过程，其中使用稀疏的点集而不是图元。[12]和[27]的作者都涉及人工对象。关节由于上述工作通过网络输入的代理来变形所表达的形状，因此可能形状的空间限于在训练期间学习的形状。相比之下，我们的方法允许用户以不一定位于所学习的形状空间内的方式更自由地改变局部3D几何形状，类似于直到现在由3D软件提供，仅用于网格3. 背景我们首先介绍一些我们赖以发展我们的方法的材料。在第3.1节中，我们给出了SDF的定义，在第3.2节中，我们描述了SIREN [37]，这是我们建立的架构，在第3.3节中，我们提出了权重归一化[35]，最后在第3.4节中，我们描述了所采用的损失函数的公式。3.1. 符号距离函数（SDF）设S是R3中的曲面，则点x到曲面的（无符号）距离为：UDF（x，S）=mind（x，y）（1）y∈S其中d是R3上的度量，通常（在我们的情况下）是欧几里得距离。如果S是闭合的，则有符号距离函数被定义为：.UDF（x，S）如果x在S直接来自图像的SDF [4，29，30，44]。 的作者[45]提出一个SDF变体，将方向引入AC-SDF（x，S）=-UDF（x，S），否则（二）有符号方向距离函数（Signed Directional Distance与近似表达距离的神经SDF相比，他们证明了他们的网络结构确保它表达了一些对象的SDDF。值得一提的是，虽然我们专注于形状的神经例如，NeRF [26]通过表达场景的辐射和密度来生成高度逼真的最近的一项调查[43]深入探讨了这些表征，作者将其称为神经场。2.2.神经SDF可编辑性关于可编辑性的研究相当有限。DualSDF[18]提出了一种两级表示，一种包括原语集合（例如，球体）和共享形状空间的神经SDF。 用户可以-神经SDF是将空间坐标x作为输入并近似表面的SDF的神经网络。因此，神经SDF使用整个神经网络来参数化单个形状。它们有效地使用连续函数来表示形状，并且以这种方式它们不依赖于特定的空间分辨率。3.2. SIREN表示我们建立在SIREN [37]的基础上，SIREN是一种使用正弦的多层感知器（MLP），而不是用于其非线性的通常的ReLU。显然，正弦允许网络更准确地表示更精细的细节。正弦的使用与傅立叶特征有关[5]，对于傅立叶特征，已经使用NTK框架[22]从理论上解释了上述属性[39]。我们选择SIREN作为我们的架构，由于它的简单性和有效性。然而，我们注意到，我们的方法是模型独立的，因此，4524·. ..Σ可以应用于各种网络。唯一的改变，我们的实验是增加权重归一化到每一层，我们将在下面讨论。3.3. 权重规格化我们建议通过为其配备权重归一化来扩展SIREN，这是[35]提出的用于加速收敛的内存高效技术。它的工作原理是重新参数化线性层的权重，使它们由长度参数和方向向量表示。这在训练期间近似地正如我们在5.4节中所展示的，将其应用于SIREN具有积极的效果。3.4. 神经SDF我们采用SIREN [37]引入的损失函数，为了完整起见，在这里简要介绍。更详细地说，许多关于神经SDF的工作[7，10，28，31，38]使用回归类型损失来训练神经网络。损失将针对在表面上、表面附近以及表面周围的边界框中地面真值符号距离需要计算出离表面的点，这可能是困难的，特别是对于我们感兴趣的非网格数据（见第4节）。[17]的作者提出了一个损失函数，该函数包括仅在表面上的点（距离为0）上评估的回归损失，相同点处的法向量项，以及强制网络具有单位梯度w.r.t.的项。输入（这通常称为程函项）。后一项针对在边界框内均匀采样的点进行评估[37]的作者除了一些微小的变化外，还用一个惩罚离表面点处神经SDF的小值的术语来扩展上述总之，我们在训练过程中最小化的损失函数L（θ）定义为：L（θ）=LS（θ）+Leik（θ）+Les（θ），其中：（3）L S（θ）= EpS {λ1|f θ（x）|+ λ2g（nxf θ（x），nx）}（4）Leik（θ）=λ3Eqxfθ（x）−1（5）Le s（θ）=λ4Eq{e−α|fθ（x）|（6）其中，λ1、λ2、λ3和λ4是平衡配重（设置为1 .一、5 10 3 5 2 S是目标表面，pS是表面上的分布，q是边界框中的均匀分布，θ是参数向量，fθ是网络函数，g是余弦距离，nx是x处的法向量，α是一个大的正数（设置为100）。LS包含回归项和正态项，Leik是程函项，Les是最后描述的项。图2：画笔模板配置文件。参见等式11。4. 建议的3D神经雕刻我们的目标是变形的表面（表示为一个神经SDF）周围的一个选定的点，它的方式类似于什么是可能的网格与3D雕刻软件。我们将选定的点称为交互点，将其周围的区域称为交互区域，并将整个过程称为交互或编辑。在我们的情况下，主要的问题是如何执行局部性。一般来说，神经网络参数的变化预计会影响其输入空间无界区域的输出。因此，天真地试图只在曲面需要改变的地方训练网络，表面上也会扭曲曲面的其余部分，这是我们通过5.6节中的为了尽可能地改善这种不利影响，我们通过包括来自网络已经表示的表面的样本（我们称这些模型样本）和来自期望变形的样本来产生用于评估等式4的损失的点云。在丢弃前一个集合中靠近交互点的样本后，我们使用与后一个集合的并集进行训练。在第4.1节中，我们描述了我们的表面采样，然后在第4.2节中给出了我们的雕刻画笔公式，然后在第4.3节中给出了我们的4.3我们描述了如何对交互作用区域进行采样。4.1. 表面采样两个先前的作品[1，10]已经提出了类似的算法，对神经网络函数的零级集进行采样。它们的工作原理是在边界框内均匀采样点，然后用广义牛顿-拉夫森迭代将它们投影到水平集上对于真正的SDF，这会将点移动到最接近它的曲面点。为每次训练迭代生成样本的一种简单方法是使用此算法。然而，这种方法具有两个主要缺点。第一，时间效率低。其次，所得样本的分布可能非常不均匀。受[10]的启发，其中通过用高斯噪声扰动现有样本来扩展样本集，我们使用4525R(a) 兔子（b）青蛙（c）胸围（d）南瓜（e）球（f）圆环图3：我们在实验中使用的3D形状数据集。详情请放大我们已经拥有的为此，我们将从切向圆盘均匀采样的向量添加到每个点，然后使用上述程序将它们重新投影到曲面上 我们选择切向圆盘，而不是高斯圆盘，这样我们就可以尽可能多地探索表面，而不会离它太远。切向圆盘的半径是一个超参数，我们设置为0.04。这种抽样方式形成了马尔可夫链[34]。自然地，人们对平稳pdf分布感兴趣。它是相对的-上述性质总结如下：bT：{x∈R|（7）R+（7）max{bT（x）}=1（8）x然后，我们可以定义在半径r和强度s上参数化的刷子族Br，s：很容易看出，[14]定理1的要求（关于一个平稳分布的存在性Br，s（x）=sbT. x∈ R，r∈R+，s∈R（10）连续空间马尔可夫链），因此，平稳分布存在，并在表面上有支持。很难从理论上推断出分布的形状。然而，我们在第5.5节中提供了实验结果，这表明我们的采样过程产生了更均匀分布的样本。统一性保证了每个表面区域都包括在内在训练中也一样。我们展示了不同半径和强度第5.3节。请注意，强度的正值会在曲面上创建凹凸，而负值会创建凹痕。在我们的实验中，我们使用了下面的电刷模板，其轮廓如图2所示。其他类型请参见补充材料。.P（1−x），如果x1<0否则4.2. 刷子我们将画笔模板定义为C1（或更高）阳性P（x）=6x5-15x+ 10x3（十二）定义在以原点为中心的单位圆盘上的二维函数，其达到最大值1，并在单位圆处消失（理想情况下，其梯度和高阶导数也消失）。假设bT（x）是画笔模板，则图4：上面演示了画笔应用程序S是曲面，x0是相互作用点，n是x0处的法向量，p是切平面，Br，s是画笔函数，其在p上的图形是深绿色曲线。bT（x）=（十一）44526为了在曲面上的一点上应用画笔，我们认为它定义在该点的切平面由于隐函数定理[24]，我们可以将网络函数的零水平集在该点的区域中表示为同一平面上的二维函数的图形。因此，我们可以通过简单地将画笔功能添加到后者来应用画笔正如我们将看到的，即使这对于计算样本的位置并不重要4.3. 交互采样现在，我们将描述如何在受笔刷影响的曲面区域上生成采样。我们首先将均匀的样本放置在与交互作用点相切的圆盘上，圆盘的半径与画笔的半径相同然后，我们可以将这些样本投影到未更改的曲面上，然后将它们垂直于切平面（在交互点处）移动一个等于画笔函数值的距离从理论上讲，为了使我们在上一节中讨论的内容适用，这需要是一个并行投影，但是，我们使用与我们描述的相同的过程4527∇⊥∥笔刷半径0.050.100.150.200.25画笔强度0.030.050.07图5：使用不同的半径和强度值，在球体上的同一交互作用点上，受支持的碰撞笔刷（导致向外的局部变形）的效果示例类似的效果也适用于凹陷笔刷（导致向内的局部变形）。在第4.1节中，这样我们上面的过程如图4所示。接下来我们计算采样位置的法线。隐函数定理，隐函数的梯度由下式给出：假设f是定义在3D平面上的2D函数（其梯度f位于该平面上），并且n是该平面的正规向量（类似于z轴），则-（xfθ（x））⊥（十四）下面是一个未归一化的向量，垂直于函数的图形：−n+n（13）因此，为了计算样本的范数，我们需要的是其图形是变形表面的2D函数的梯度正如我们在前一节中所解释的，这个函数是画笔函数和网络隐式定义的函数之和。我们可以直接计算画笔函数的梯度。由形状倒角距离×103（↓）无WN关于WN兔子9.0218.995青蛙8.0957.921半身像7.1677.139南瓜8.6468.506球体7.0876.861环面7.1986.882平均7.8697.717表1：使用100000个点计算的权重归一化消融的倒角距离。哪里 表示平行于切平面和垂直于它的分量。首先，我们对模型进行采样，并丢弃位于以交互点为中心的半径等于画笔半径的球体然后，我们对交互进行采样。我们采集的样本数是丢弃样本数乘以大于1的整数因子。我们利用这个因素来平衡模型和交互样本的贡献。我们希望交互样本的影响更大，因为它是曲面必须改变的地方，同时适应受影响区域的大小我们在实验中使用了10倍的因子最后，用于训练的样本集是未丢弃的模型样本和交互样本的并集5. 实验在本节中，我们定性和定量地评估了我们提出的3DNS在各种3D对象和几个不同的表面编辑。其他结果请参见补充材料。5.1. 数据集在我们的实验中，我们创建了一个由六个3D形状组成的小数据集，见图。3.第三章。对于其中四个，我们从（f（x））xθ4528- --图6：在顶行，估计的pdf用面部颜色可视化。在底行上，示出了估计的pdf值红色垂直虚线表示均匀pdf的值对于左边的两列，使用我们提出的算法，而对于右边的两列，使用朴素的方法。网格表示：斯坦福兔，来自[41]和青蛙，南瓜和半身像，来自TurboSquid 1。另外两种形状是球体和圆环，它们通常由3D建模软件提供作为起始形状。我们从这些形状的分析表示开始。具体地说，我们使用一个半径为0.6的球体和一个长半径为0.45、短半径为0.25的环面。对于我们的实现，我们使用PyTorch [32]。作为预处理步骤，我们通过统一平移和缩放数据集的四个网 格 的 坐 标 来 规 范 化 它 们 ， 以 便 它 们 位 于 [ （ 1b），1b]3，其中b是整数r。使用后一个我们将b设为0.15。我们通过对数据集进行均匀采样来训练网络来表示数据集的形状网络的架构是SIREN，具有2个隐藏层 和 128 个 神 经 元 ， 以 及 权 重 归 一 化 （ 第 5.4 节 除外）。我们使用120000个样本用于方程4的损失，另外120000个样本用于方程5和6的损失，并训练10- 6次迭代。5.2. 性能度量对于定量比较，我们使用倒角距离，这是用于几何任务的常见度量。如果A、B是两个点云，则它们的倒角距离定义如下：CD（A，B）=1μmind（a，b）+1μmind（a，b）半径和强度在球体上的相同相互作用点上。对于每一行，强度是相同的，并显示在左侧。类似地，对于每一列，半径是相同的，并且显示在顶部。5.4. 体重标准化消融研究为了证明权重标准化提供的改进，我们为上面给出的形状训练了六个模型，第一种情况是权重标准化，第二种情况是没有权重标准化。从地面实况模型采样的点云与通过我们的采样算法从训练网络采样的点云之间的倒角距离在表1中给出可以看出，即使不是很大的差距，用权重归一化训练的模型在每种情况下都表现得更好。5.5. PDF估计我们想研究我们的抽样算法的平稳分布的均匀性我们通过估计表面上的pdf来做到这一点首先，我们使用Marching Cubes算法[23]创建曲面的三角形网格然后，我们用我们的算法生成样本N次迭代，每次迭代M个样本。实际上，我们正在模拟M个马尔可夫链。对于网格的每个三角形，我们计算最接近它的样本c的数量三角形上pdf的估计平均值为：C|一| a∈Ab∈B|B| b∈Ba∈A（十五）pdf=（16）不适用其中A是三角形的面积。5.3.画笔参数我们在图5中演示了画笔参数如何允许用户控制编辑具体来说，我们使用不同的1https://www.turbosquid.com我们在图6中可视化了兔子和球体的估计pdf以及面部颜色。在同一图中，我们还显示了pdf估计的直方图。均匀pdf的值等于表面积的倒数，在直方图中以虚线显示4529形状平均倒角距离×103（↓）整个表面内部交互区我们天真简单网格我们天真简单网格兔子9.40714.10611.1275.52712.91917.707青蛙8.17212.8658.7564.7509.80517.051半身像7.27911.4867.9013.8188.77914.926南瓜8.77413.55811.4894.3155.91020.693球体7.20912.5507.3993.5556.11712.982环面7.14213.5167.4153.5745.98013.402平均7.99713.0149.0154.2578.25216.127表2：我们的编辑方法与模型样本（分别为Ours和Naive）的比较，以及在具有相同大小的网格（简单网格）上的直接倒角距离是用100000个点计算的。每个形状的平均值是在10次独立编辑中获得的。红色垂直线我们可以看到直方图紧紧围绕这个值，表明我们的采样过程的站分布是非常均匀的。为了进行比较，我们在同一张图中给出了4.1节中概述的原始抽样的相应结果。在这里，我们注意到明亮的区域比表面的其余部分更频繁地采样，以及直方图的较长尾部和它们偏离中心的事实5.6.网格编辑比较我们比较我们提出的方法与编辑网格，这是迄今为止最流行的表示为3D建模和雕刻，也是天真的方法，只使用交互样本。我们通过改变位于交互区域（用于丢弃采样的球体）内的顶点的位置来编辑网格。我们遵循第4.3节中描述的过程，唯一的区别是，而不是将样本从切平面投影到表面上，我们计算顶点为了进行公平的比较，我们使用了一个与网络大小相同的网格。我们从一个高分辨率网格开始作为地面实况（这是网络训练的四个网格，一个通过Marching Cubes [23]构建的球体和环面）图7：使用不同方法进行编辑的示例从左到右，地面实况（理想的编辑结果），我们的，天真和简化的网格。然后，在[38]之后，使用二次抽取[16]来获得大小大于或等于网络大小的最小网格之后，我们对这三个表示执行相同的十次编辑每次编辑都在未编辑的模型上执行。我们计算整个曲面上以及仅在交互区域内的网络和简化网格到地面真实网格的平均倒角距离对于所有编辑，我们将画笔结果总结在表2中，其中显示我们的方法优于其他方法。我们还在图7中提供了一个示例。6. 局限性和未来工作尽管神经SDF的成功和我们上面提出的结果，也有缺点。这种编辑方式的一个问题是，在应用程函损失的边界框之外无法轻松编辑形状，因为那里的网络不近似SDF。此外，由于神经网络函数是平滑的，因此难以使用神经SDF对硬边缘和角进行建模。然而，有关于使用辅助数据结构来局部表示表面的神经SDF的研究[7，28，38]，可以潜在地用于解决这些缺点，这是我们追求的方向。此外，我们的框架可以在未来扩展到编辑神经场景表示，如NeRF [26]。7. 结论我们已经提出了3DNS，一种受现有3D软件启发以交互方式编辑神经SDF表示的方法。我们相信，对这些表示的可编辑性的研究可以帮助使它们在更多的应用中变得可行，无论是科学还是艺术。然而，为了与现有的工具和网格的能力竞争，需要更多的研究。4530引用[1] Matan Atzmon，Niv Haim，Lior Yariv，Ofer Israelov，Haggai Maron，and Yaron Lipman.控制神经水平集，2019年。[2] Matan Atzmon 和 Yaron Lipman 。 Sal ： Sign agnosticlearning of shapes from raw data，2020。[3] Matan Atzmon 和 Yaron Lipman 。 Sald ： Sign AgnosticLearning with Derivatives，2020。[4] SaiPr a veenBang g aru，Micha eülGharbi，Tzu-MaoLi，FujunLuan ， KalyanSunkavalli ， MilosBaghasBagaran，Sai Bi，Zexiang Xu，GilbertBernstein，andFre'doDurand. 通过重新参数化的神经sdfs的可区分渲染，2022年。[5] Nuri Benbarka，Timon Hessel，Hamd ul-moqeet Riaz，and Andreas Zell.把隐式神经表征看作傅立叶级数。arXiv预印本arXiv：2109.00249，2021。[6] J. 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