病毒动力学模型中的治愈率和吸收

ð Þ ð Þ ð Þ¼¼ðÞ埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joemsJournal of the Egyptian Mathematical Society（2014）22，386原创文章具有治愈率和吸收的病毒动力学模型Khalid Hattafa，b，*，Noura Yousfiaa哈桑二世大学Ben M'sik科学学院数学和计算机科学系P.O. Box 7955，西迪奥斯曼，卡萨布兰卡，摩洛哥b摩洛哥卡萨布兰卡Derb Ghalef教育和培训中心收稿日期：2013年10月2日;修订日期：2013年12月13日;接受日期：2013年2014年1月31日在线提供摘要在本文中，我们研究了一个数学模型，该模型考虑了受感染细胞的治愈和由于被未感染细胞吸收而导致的病毒颗粒的损失。对无病平衡点采用直接李雅普诺夫方法，对慢性感染平衡点采用几何方法，2010年数学学科分类： 34D20; 34D23; 37N25; 92D30？2014制作和主办Elsevier B.V.埃及数学学会的代表在CC BY-NC-ND许可下开放访问。1. 介绍本文的目的是研究以下模型的动力学行为：x_<$ak-dx-fx;y;vvqy;y_<$f x; y; v v-a qy;v_<$ ky- uv- ifn x; y; vn v;ð1Þ易感宿主细胞x、感染细胞y和游离病毒v，该模型由以下微分方程的非线性系统表示：*Correspon dingauthorat：CentreRe'gionaldesMe'tiersdel'Educa- tion etde la Formation（CRMEF），Derb Ghalef，Casablanca，Morocco.联系电话：+212 0664407825。电子邮件地址：k. yahoo.fr（K. Hattaf）。同行评审由埃及数学学会负责制作和主办：Elsevier其中易感宿主细胞以速率k产生，以速率dx死亡，并以速率fx;y;v; v被病毒感染。受感染的细胞可能由于病毒或免疫作用而被杀死或者它们可能由于其细胞核中cccDNA的非细胞溶解性消除而丢失。受感染细胞的损失率由a/q给出，其中a是受感染细胞的死亡率，q是恢复到未感染状态的速率。项qy进入第一个方程（1）给出了创建的未感染细胞的测量值到“治愈”的时间。最近，这种治愈感染的细胞被认为是由几个作品[1最后，受感染的细胞以速率ky产生游离病毒，以速率uv衰变，参数i仅取0或1。当i0对应于Hattaf等人在[6]中处理的系统，且我1考虑到病毒颗粒进入时的损失，目标 细胞 注意 即， 当 一 病原体 进入一个1110- 256 X？ 2014制作和主办Elsevier B. V.埃及数学学会的代表在CC BY-NC-ND许可下开放访问。http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2013.12.010关键词病毒动力学;复合矩阵;全局稳定性D.Σ@f@f@f.Σ¼¼1/2; 2/3：;GDDTud阿斯克D.ΣD.Σ@xR¼d：1200@y@v@x@y@v@vþ4Dudð Þ2-i v k -i v-u-ifv病毒动力学模型的全局稳定性387如果没有被感染的细胞，血液中的病原体数量就会减少一个。这就是所谓的吸收效应，这是考虑在[9与[6-8]中（ii）如果R0> 1，无病平衡点仍然存在，系统（1）有唯一的慢性感染平衡点Eωxω;yω;vω，其中xω0;k;yω> 0，vω>0.在R3内部连续可微þ 满意：3.平衡点的局部和全局稳定性f= 0;y;v=0;对于所有的yP 0和vP 0;@f（1）在任意点的雅可比矩阵由下式给出：@x<$x;y;v<$>0;对于所有x>0;yP0和vP0;0-d-@fv-@fvq-@fv-f1@f@f@y@vJ¼B@@fv@fv-a q@fvfCA：203x;y;v@x@y@v.Σ我们的论文的其余部分组织如下。第2节涉及一些关于积极性和约束的初步结果-解的edness，基本再生数和均衡在第三节中，我们讨论了平衡点的稳定性本文最后在第4节中给出了一些应用。2. 预赛在这一节中，我们建立了解的正性和有界性，基本再生数和平衡点的存在性2.1. 正不变性和有界性定理2.1. 八分圆R3x y vR3xP0 yP0;vP0关于（1）是正不变的. 此外，委员会还认为，（1）的所有解在紧子集内一致有界C1/4 ≤x;y;v≤2R3：x≤y6k;v6kk，其中d≤minfa;dg。基于Jacobine矩阵方法，通过在Ef处评估（3），Eω，我们可以得到以下结果。定理3.1. 无病平衡点Ef是局部不对称的。当R0> 1时<，它是不稳定的.定理3.2. 假设R0> 1。 如果i0或i1且函数f满足以下假设.fx;y;vv@fP0;对于所有x;y;vP0;H则慢性感染平衡点Eω是局部渐近稳定的.注3.3.假设（H4）被不同类型的发生率所验证，包括质量作用、标准发生率、饱和发生率、Beddington-DeAngelis证据正正交子的正不变性是平凡的。它仍然表明系统（1）是一致有界的。设n =x=0;y=0;v= 0，n =0将系统的前两个方程（1）给出，dx y k-dx-ay 6 k-dxy，其中dminfa;dg. 我们就能得到那个证明！1xy6k. 另一方面，从系统的第三方程，很容易就能看到林超！1对6kk。因此，所有解决方案Hattaf提出的更广义的关联函数 （见[8]第5节）。基于 对 的 以下 Lyapunov功能然而，建立下面的定理并不难。定理3.4. 当a P d和R06 1时，Ef在C中是全局渐近稳定的.在R3中开始系统（1）最终被限制在区域Cþ.这就完成了证明。 H为了证明当R0>1时慢性感染均衡Eω的全局稳定性，我们首先需要证明以下引理。2.2. 基本再生产数与平衡通过一个简单的计算，系统（1）总是有一个无病平衡点Efk;0; 0。因此，（1）的基本再生数由下式给出：ðk—ðaþqÞiÞf. k;0;0乌塔加河利用文献[6]中的同样技巧，我们推导出当R0>1时，存在唯一的地方病平衡点。因此，我们有以下结果。定理2.2.(i) 若R06 1，则系统（1）有唯一的无病平衡点，形式为Efk;0; 0。引理3.5. 若R0> 1，则系统（1）是一致持久的.证据这个引理来自于[12]中的一致持久性结果，即定理4.3。为了证明系统（1）满足[12]中定理4.3的所有条件，如果R0>1，我们选择X<$R3和集合E<$C。上的极大不变集M边界@C是单点Ef，并且是孤立的。通过[12]中的Theo-rem4.3，我们可以看到，系统tem（1）等价于无病平衡点Ef的不稳定性。因此，由定理3.1可知，若R0>1，则系统（1）是一致持久的.H接下来，我们建立了一组条件，这些条件足以使慢性感染 平衡 点Eω全 局稳 定。 根 据引 理3.5 ， 我们 知 道如 果R0>1，系统（1）一致性。因此，存在一个紧凑的关联函数，Crowley-Martin关联函数，¼jj <$fjJ J杰格如果maxky-i@fy;i@fy¼-iy，则@y@x2¼y-@y@vmaxfky-i@fy;i@fyg <$4ky-i@fy且ip<$1d或如果iq<$1d，则ðy--@y@vi@fy-@fy-@fvZP P-1¼诊断0;y_-v_;y_-v_11@x@y12y@vy@vb11¼y-v-u-d-@x v-if@vvno.Σ.ΣX02Kky@f稳定H2122假设H1、H2、H3和H4都满足。此外，本发明还提供了一种方法，388 K。Hattaf，N. 尤菲吸收集K C [15]。沿着每一个解xt; yt; vt对于（1），使得X0x;y;v2K，我们将1Zt. @f@f和y_v_g2¼y-v-d最大值ky@f@fv-i@yy;i@x y-up？1½limsupsupt-@yys-@vvsds;.Σt！1t！1X02K01Z t.@f0@f@f@f-i f@vvv：700vq<$1/4limsupsupt@x ys-@yys-@vvsds：gy_d-i。@fy@fv：108定理3.6. 假设R0> 1，（H4） 成立.如果v@y@xv@y由（5）、（6）和（8），我们得到lB6年_迪岛@fy@fv，Eω是全局渐近稳定的。证据为了研究Eω的全局稳定性，我们应用因此，我们认为，q<$2½limsupsup1Zt lBds6-dip10：几何方法开发的李和Muldowney在t！1X02Kt0[13]第10段。由（3）给出的雅可比矩阵J的第二加性复合矩阵定义为：在一般情况下，我们有y_. @f@f@f0j11 22岁J23-j131g2¼ y-di@x y-@yy-@vv：1999年y_J½2]¼B@j32j11j33j12CA;104mg/kgF. 从（5），（6）和（9），我们 得到l<$B<$6y-d<$@x@y@v. 因此，委员会认为，1不其中j是J的第1个条目。 让P1/4诊断。1;y;y然后q<$2½limsupsuplBds6-diq10：klv v.Σt！1X02Kt 0其中矩阵Pf是通过将P的每个项pij替换为它在（1）的解的方向上的导数而获得的。另外我们有由定理3.6，我们得到如下结果。B¼PfP-1PJ½2]P-1¼哪里B11B12;B21B22推论3.7。假设R0> 1，（H4）成立.如果i0，则Eω是全局渐近稳定的.4. 应用@f@fB ¼ -adq-vv;B 1/4。v.@fvfx;y;vv。@fvfx;y;v;我们应用我们关于全局稳定性的当R0>1时0的情况。k-i@fvy1i@xy. bbB21¼@@yv@fA;B22¼11 12;B b例1.大规模行动时，fx;y;vbx。本案中这Z t.@f@f@fZty_v_@f.@f@f@x ys-@yys-@vvsds¼byy ssd：@fy_v_@f.@f由于x_xyy_k-dx-ay，我们有@yÞ-j31j 21j 22j 33;根据[13]中的定理3.5，Eω是全局渐近的Fyv yv在这里，我们给出一些关联函数的例子，0b12¼q-@yv;0Zbkb一j j jj0b21¼@x v;b22¼y-v-a-q-u@yv-if@vv：不bysds6t- xtyt-x0-y0：设W1;W2;W3表示R3中的向量，取R3中的一个范数为w1;w2;w3最大值w1;w2w3设l为洛津斯基按照这个标准来衡量。然后我们有以下内容估计，见[14]：l0因此，q′16b k。通过应用定理3.6，我们推导出Eω是全局渐近稳定，如果i<$0或i<$1和bkda。<实施例2.当f=x;y;v= x; v =x时的标准发生率。 在假设H，H，H和HX射线其中，g11 <$l1<$B11< $jB12j和g2<$jB21j <$l1<$B22 <$j，这里是l1表示关于l1向量范数的Lozinskii测度，B12B21是关于L1范数的矩阵范数。更多-结束，我们有此外，委员会还认为，Zt. @f@f12@f34满意了。Ztbysgy_v2@f@f@fy_@xys-@yys-@vvsds¼xsysds6bt：1¼y-dy@v-@x v@yv6y-d：6ð Þ¼bxsds6dt-dxtyt-x 0-y0：v@y@xv病毒动力学模型的全局稳定性389然后是q16b。 由定理3.6可知，当i<$0或i <$1且b

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