非正交时频信号的统计特性研究：高斯分布和误码率分析

工程科学与技术，国际期刊20（2017）1430完整文章非正交时频信号干扰统计特性的分析研究祖希尔·巴赫里电子工程部， 巴林大学，巴林阿提奇莱因福奥文章历史记录：2017年10月6日收到2017年11月9日修订2017年11月18日接受2017年12月13日在线发布保留字：非正交时频信令快于奈奎斯特（FTN）信令符号间/信道间干扰高斯分布根升余弦（RRC）A B S T R A C T分析了非正交时频信令（NOTFS）引起的非截断码间和信道间干扰（ISI/ICI）的统计特性对ISI/ ICI的高斯性进行了一般性的讨论。这是针对使用根升余弦（RRC）脉冲的单载波快于奈奎斯特（FTN）信令的特殊情况示出的新的封闭形式的ISI二阶统计量的表达式这些部分用于分析建立，在所有的系统参数，ISI characteris，只有当FTN加速因子接近无穷大时，渐近接近一个精确的高斯RV。近似的，但优雅紧凑，封闭形式的表达式，用于使用RRC信令的逐符号二进制检测器的误码率（BER），通过仿真，进一步揭示了常用的高斯ISI假设的准确性和有效性©2017 Karabuk University. Elsevier B.V.的出版服务。这是CCBY-NC-ND许可证（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。1. 介绍由Gabor在1946年引入的时频（TF）信令在广泛的通信系统（例如，[1]和参考文献。广泛使用的正交频分复用（OFDM）象征着被称为正交时频（OTF）信令的广泛类别的TF信令。OTF施加了一个双正交条件[1]，如果OTF信号不经历由于多径或多普勒效应引起的任何时间或频率色散，则该条件导致零符号间和信道间干扰（ISI/ICI）。近年来，对通过更少的带宽进行更快通信的需求不断增长，这导致了具有更高频谱效率（SE））。NOTFS故意通过违反时间和/或频率上的正交性条件来引入ISI/ ICI。这样做是为了推动数据速率尽可能接近最大可实现的速率通过信道。不可避免地，所得到的更高的SE伴随着误码率（BER）的劣化，除非使用更复杂的检测方法通常在SE、BER和检测器复杂度之间进行折衷[2]。多载波快于奈奎斯特（MFTN）信令[2]和时频打包（TFP）[3]是最近常见的技术电子邮件地址：zkbahri@uob.edu.bh。由Karabuk大学负责进行同行审查属于NOTFS类在过去的十年中，它们受到了相当大的关注，发现了各种应用，如光纤通信[4]，长距离水下链路[5]，卫星[6]和移动通信[7]。关于ISI的工作非常古老，可以追溯到奈奎斯特时代，后来又追溯到20世纪60年代初研究人员一致注意到，分析评估“回避”ISI随机变量的统计数据是困难的这导致他们中的大多数人诉诸数值方法处理截断ISI。边界[8[11] 或系列扩展[12在涉及ISI/ICI的最近的工作中，已经应用了各种处理技术以减轻其有害影响。由于基于网格的检测器[2]的复杂度很高，研究人员通常采用编码和低复杂度均衡器[3，15，16]或脉冲整形[17，18]来减轻ISI/ICI而不完全抑制。然而，尽管大量的工作ISI/ICI，没有正式的治疗或分析封闭形式的表达式可能会发现在文献中有关其统计特性。相反，作为一个简化的假设，ISI/ICI在过去[19]和最近的工作[3]中通常被假设为高斯分布。这是由于ISI/ICI是独立随机变量之和，因此，根据中心极限定理，高斯假设似乎是合理的。这一假设进一步受到高斯分布的数学易处理性的启发。除了一些侧面的评论[3]，ISI/ICI的详细特征在公开文献中没有得到严格的处理。https://doi.org/10.1016/j.jestch.2017.11.0042215-0986/©2017 Karabuk University.出版社：Elsevier B.V.这是一篇基于CC BY-NC-ND许可证的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。可在ScienceDirect上获得目录列表工程科学与技术国际期刊杂志主页：www.elsevier.com/locate/jestchZ. Bahri/Engineering Science and Technology，an International Journal 20（2017）14301431;ð Þð Þð Þ¼ ¼你知道吗，你-你--1不;P不FW^2ISI[20]的分析处理的最值得注意的报告使用几何级数作为信号模型。然而，这是一个相当不切实际的假设，是为了使问题更容易处理。实际的信令技术，如常用的根升余弦（RRC），只有在计算机模拟用于测试所提出的算法进行了数值处理。ISI/ICI没有分析的封闭形式统计特征，由于相同载波的相邻符号和/或相邻频率的符号的残余效应，ISI/ICI伴随令dn;k（n;k分别是时间和载波索引）表示由NOTFS系统发送的M元复数数据符号我们假设dn;k是零均值、独立且均匀分布的，即E f d n;k g <$0;对于所有n;k<$1<$系统参数（例如，滚降和FTN加速因子）。这项工作的目的就是填补这一空白。的英、法、德、恩、克dωm;ig ¼d nmdkið2Þ本文的目的是分析研究由非高斯噪声引起的ISI/ICI的统计特性，并阐明其常用的高斯假设的有效性。为此，我们在这项工作中做出了以下贡献：i. ISI/ICI总是Platykurtotic（sub-）其中“/“表示复共轭，Ef：g是期望值，dn;m是克罗内克δ函数（对于n/4m等于1，否则为零）。复基带传输的NOTFS信号由下式给出：xtqEsT^F^XXdnkht-nT^ej2pkF^t3Gaussian）一般来说nKii. 一个分析以及基于仿真的调查的有效性，通常提出的高斯假设相对于ISI的特殊情况下，一个单载波FTN使用RRC脉冲。iii. 新的封闭形式表达式的ISI方差相同的特殊情况下，导致近似的，但优雅紧凑，封闭形式的BER表达式的一个符号的二进制检测器。这些可以被认为是更复杂的基于网格的序列检测器的BER的封闭形式的上限。这项工作的其余部分组织如下。在第2节中，我们制定ISI/ICI问题，并建立了一些符号。在第三节中，我们讨论了ISI/ICI的循环性和峰度在第4节中给出了ISI/ICI总是平顶峰的形式证明。第5节示出了第4节的一般处理，其中特殊情况处理使用RRC脉冲的单载波FTN。新的分析封闭形式的ISI方差表达式为相同的特殊情况下也提供了。这些部分用于分析建立ISI相对于FTN加速因子的渐近高斯性。第6节提出了紧凑的新颖的BER表达式的一个符号的二进制检测器脱落更多的光，通过计算机模拟，对准确性和有效性的常见的高斯ISI假设。最后，我们在第7节中总结和总结了这项工作其中求和一般被认为是无限的[3]，并且在K个多用户的情况下[20]，k上的求和是从零到（K 1）。Eq中的术语Es。表示符号能量，并且是确保恒定功率谱密度的归一化因子（PSD）xt 不考虑T^和F^。我们假设一个加性高斯白噪声（AWGN）wt，其双侧PSD为x t。在这项工作中，我们专注于降低复杂度的逐符号检测器，例如Barbieri等人提出的检测器。[3]而不是更复杂的基于网格的序列检测器[2]。因此，接收器由一组匹配滤波器组成，每个匹配滤波器后面都有一个基于软干扰消除均衡器的检测器[3]。 对于第k个载波，检测器使用y n;k，样本在外来资产的输出的一匹配滤波器给定关于Hωtexpj2pkF^t）。 我们假设，采样误差发生在时间和频率的同步问题，以及发送器和接收器之间的频率偏移的结果。因 此 ， 用 于 第 k 个 载 波 的 匹 配 滤 波 器 变 为 hωk-t （ k expr-j 2pkbFF^t），并且现在在（nbTT^t）处被采样，其中jbTj和jbFj被假定为低于0.5。在不失一般性的情况下，我们聚焦于对应于n k的样本 0.因此，检测器基于2. 问题公式化y0;01/2Z 11/2x x1/4d00Ah-bT^;-bF^qEsT^F^nIw^o4在这项工作中，我们限制的治疗，只有在平坦因此，ISI/ICI不是由于时间-频率信道差引起的。persion，而是与定时其中d0; 0是被检测的符号，n1是ISI/ICI随机变量，由下式给出误差和频率偏移（假设是确定性的）。的n<$qET^F^X0Dej2pkbTF^T^An-bT^;k-bF^5我色散信道的情况可以被推广，但代价是简单明了的治疗方法我们使用相同的Sn;kn;k hT FBarbieri等人[3]以及Rusek和Anderson[21]的问题公式化。我们专注于正交脉冲h*t*（假设与0n;k表示在所有整数n;k∈-n;0; 0上的和i单位能量），其被包装在均匀间隔的矩形时频晶格中。间距是T^^ATT的倍数≤ ¼ ≤表示由下式A t fZ1hst hωsej2pfsds6ðÞ ¼ðð Þ- -（aT1）在时间上和F^aF1（aF1）在频率上。这里是T和F对应于具有Th;-1：刘伟是两个相邻的无ISI符号F是两个无ICI的相邻载波之间的频率间隔正交性的必要条件是TF≥1。的方程中的噪声项w^0 （4）（独立于nI）表示相同的-一个高斯过程的一部分，它用由下式给出的PSD着色，SfNo jHf j2;7乘积T^F^，称为时频占用率（TFO），w^2与SE直接相关。正如抽样理论所预测的那样，最小的正交TFO是单位的。这对应于将sinc脉冲用于具有T1/41、F1/4 1和TF 1/41的高功率放大器。对于NOTFS，TFO是小于1导致更高的SE。然而，这不可避免地方差等于r2¼Noð8 Þ1432Z. Bahri/Engineering Science and Technology，an International Journal 20（2017）1430-我--≥X;;≥IJ22KLMNopikimioJLjnjpimJn高立伊克2！2！KIC ¼-hP^ - - i2;200mgP由于Parseval的定理和单位能量假设的h？以下各节阐明了n I的统计特征。同时，对于当nI是纯实数（M PAM和BPSK）时的情况，它是非圆形的，并且其峰度在等式（1）中为零。（14）成为EFN 4G我KIN 1/2Efn22-3：116 分3. 背景：关于nI的圆度和峰度在讨论nI的高斯性之前，需要解决其循环性[22，23]的微妙之处。这一点很重要，因为它影响到统计分析。首先，注意，nI通常是一个复杂的复杂随机变量的统计不仅仅是其真实对应物的扩展，并且借鉴了CR-演算[24]。特别是，非圆性提供了增强的统计数据，并已被极大地用于增强各种信号处理技术[25ISI/ICI随机变量nI被称为（二阶）圆形，当且仅当它具有零伪方差，即Efn2 g ¼0：19mm看着Eq。从公式（5）中可以看出，n1的循环性直接来自数据符号的循环性。也就是说，nI是循环的，当且仅当Efdn;kdm;ig <$0对于所有n;k;m;i：100因此，对于诸如M进制脉冲幅度调制（M-PAM，M2）、二进制相位偏移键控（BPSK）、和高斯最小频移键控（GMSK），等式（1）（10）很容易被检查到不成立，导致非循环nI。然而，对于M元正交移位键控（M-QAM，M ≥ 4）和m进制Ig]这是一个已知的事实[29]，等概率伯努利随机变量（实数或复数BPSK）导致最小的峰度（等于-2）。这一事实将在第4节和第5节中使用4. 关于n的高斯性下面的定理正式揭示了ISI/ICI随机变量的高斯性。定理1. 具有有限（非零）方差的随机变量永远不会是精确的高斯分布。它总是次高斯（Platykurtotic），峰度在区间[2，0]内。当它退化为二进制随机变量时，它达到最低峰度（2）的特殊情况，然后，离高斯分布最远。它是高斯分布的，当且仅当它有无穷大的方差。定理1的证明首先，从数据符号的零均值消隐和等式中的n I定义中可以清楚地看出。（5）它也是零均值。第二，由于数据符号的独立性，nI的方差由下式给出：相移键控（M-PSK，M≥4），等式（10）为真，nI为2、^^2圆形的事实上，使用标准恒等式Efjnjg¼ETFX0jA nT;kFjð17 ÞM-1Ishn;ke j2pnk=M 1/4; 对于k-pMn¼0可以检验出等概率独立M-PSK信号我们假设它是有限个非零的。对于循环数据符号（对应于M-QAM和M-PSK，M≥4），检查是直接的，我们有Efdijdkldωmndωopgldikdimdiodjldjndjpdimdjndkodlp1-dikdjldnMPSKn=M;n¼0;.. . M-1型12毫米2018年10月18日，满足导致这样一个事实，pnMPSKg <$0;对于p<$1;.. . M-1：1013毫米≥-第四章22. x0的2^^2X0-^^43因此，对于M-PSK（M4），n1是循环的直到阶M1。一个重要统计参数为随机变量即受循环影响的是峰度[24]。这是一个标准的做法EfjnIj gEsTF42n;kjAhnT;kFjn;k jAhnT;kFj5：ð19 Þ利用随机变量的峰度来确定是高斯分布这是因为高斯随机变量具有零峰度的标准结果[29]。因此，随机变量的非高斯性的充分条件是其峰度非零。Kurto- sis离零越远，随机变量离具有高斯分布越远。 这一事实已被广泛利用使用等式（19）在Eq.（14），发现循环nI的峰度为被0nkjAhnT^;kF^j40n kjAhnT;kFj2而对于非循环M-PAM（包括实BPSK）并构成了盲源提取算法背后的主要基础Rithms[30]. 零均值实/复ISI/ICIEfd d dωdωg <$dd dd d d d dd d d d d 1-dd随机变量被定义为其归一化的四阶绝对累积量[24]，并由下式给出：Ef jnj4g -2½Efjn2Efn2gj2þdiodjpdkmdlnð1-dimdjnÞþdikdjldmodnpð1-diodjpÞð21 Þ导致了这样一个事实，我KI¼Ij g]-jI：14001/2EfjnIjg]第四章22. x0的2^^2X0-^^43因此，对于当n1是循环（M-PSK，M-QAM，M4），最后一项的分子方程。（14）消失，峰度由下式给出：EfjnIj gEs TF43n;k jAhnT;kFj2 n;k jAhnT;kFj5：ð22 ÞKICEfjnIj4g[1/2EfjnIjg]-2分15秒使用等式（22）在Eq. （14），发现非圆形nI的峰度为：英、法、德2¼Z. Bahri/Engineering Science and Technology，an International Journal 20（2017）14301433;2K“XX-¼J JJ J- j j¼ ¼ ¼¼¼ ðð- ÞÞ“#圣诞节-b中文（简体）Þ20n;k“#用户名：密码ÞjA hnT;kF jj 2 arm-bj！122R我S#MPnkjhj>0一 nT^;kF^4KIN 1/4 -2hP^- - i2：123为了在数值上说明ISI的非高斯性，我们评估了归一化（单位）的累积分布函数（CDF方差）ISI随机变量平均超过106实现方式可以从Eqs中观察到。（23）在所有情况下，I0，因此总是次高斯（Platykurtotic）。<严格的上不等式来自非零方差假设（非平凡nI）。因此，ISI/ICI永远不会有精确的高斯分布。分布利用这个事实，每个使用30比特ISI范围。在进行的所有模拟中（在下一节中进一步讨论），观察到将ISI扩展超过30位（在所讨论的样本之前和之后15位，在这种情况下是原点）对结果的准确性具有可忽略的影响，并且将不必要地增加计算机运行时间。因此，我们主观地将ISI限制为30位。0n;k2jAhnT^;kF^j2P0n;kjAhnT^;kF^j424图 1针对选定的a、r和b值绘制该CDF与高斯分布的关系。可以看出，在某些条件下，ISI CDF非常接近（但不完全等于）高斯随机分布的CDF。对于所有的Ah：;：，我们得出结论，一般来说，-26 KI0：225<在Eq. （24）在Eq.的下限中，（25）当且仅当求和中的所有交叉项为零时发生，即，等式中ISI/ ICI求和（5）退化为单个项（峰度等于2的二在这种情况下，ISI/ICI的特性与高斯随机变量的特性相差最远。另一方面，众所周知，无限ISI/ ICI方差是Lindeberg中心极限定理（CLT）成立的充分条件[29]，因此它是上面的讨论建立了为了使ISI/ICI是高斯的，无限方差条件不仅是充分的，而且是必要的。这就完成了定理1的证明5. 特例虽然定理1的结果一般适用，但我们将针对使用根升余弦（RRC）脉冲的单载波FTN系统来说明它们。为了简单起见，这里进行单载波假设。RRC是实践中最常用的信令方案。例如，通用移动电话系统（UMTS）（包括最新的长期演进（LTE）技术）（LTE））使用具有0.22滚降因子"r“的RRC第二代变量，即对于jbj，r，和a.当r和a分别接近1和0.5，而b保持接近0时，ISI呈现水平数递减的二项分布。最后，ISI降低到第三个随机变量。如图1所示，当a 1/40： 5，r 1/41和b0时，这正好发生。 当a和r都接近1而b接近0.5时，类似的方向逐渐使ISI从二项随机变量最终变为二项 当a1、r1和b0： 5时，二进制极限情况正好发生，如图1所示。ISI的极端退化为一个二进制随机变量的极端情况下，对中心极限定理驱动ISI远离高斯特性。在这种情况下，ISI峰度达到其最小值2。随着b、r和/或a接近零，ISI求和中包括更多项，并且其逐渐变成具有增加的水平数的二项式随机变量。只有在a为零的极限情况下，ISI才由连续的水平组成，并完全趋于高斯分布。这一点在下面的定理2的介绍之后被分析地建立。为了进一步分析说明ISI退化过程，首先注意到，通过使用（27）我们得到limh^m-baTsin.电话：021-88888888卫星数字视频广播（DVB-S2）的无线资源控制（RRC）协议，0：2，而其扩展DVB-S2 x使用低至0.05的滚降因子[31]。在下文中，我们假设是由其傅立叶变换定义的RRC脉冲8>1;对于jfj6B1-r2当r1（全升余弦），h^MbaT在等式中（27）简化为H^ maTsin c2am-b301-202a-202b-202jHf j1千1百万。 p jf j-B1-r;ð26Þ1.24B2Br： 对于B 1-r6jfj6B1 r1其中r是滚降因子，B= 1/（2T）确定系统带宽（2B是对应于r= 1的全升余弦的情况下可达到的最大值）。现在，我们将载波下标“k”以及偏移因子b F丢弃在（五）、此外，我们将缩放因子T^F^以及下标“T”从T 和bT. Eq.的模糊函数（6）现在在f1/40处进行评估，以变为Aht;0h/4h^t仅是由下式的逆傅立叶变换给出的ht的自相关：0.80.60.40.2jHfj 由方程式（26）作为h^tsinct=Tcosprt=T271-102rt=T102因此，ISI项n1现在简化为0-0.2-3-2-1 0 1 2 3n¼pEX0Dh^m-baT：28Fig. 1. 所选r、a和b值的归一化ISI CDF相对于高斯CDF。M高斯ISI ; r = 0.1;r= 0.05 ; r= 0.25ISI ; r = 0.8 ;r= 0 ; r= 0.4ISI; r = 1 ;r= 0 ;r= 0.5ISI; r = 1 ;r=0.5 ;r= 12B1434Z. Bahri/Engineering Science and Technology，an International Journal 20（2017）1430x 10-30.50.60.8000.20.4CDF MSEð Þ ¼¼联系我们联系我们pffiffiffiffið þÞ¼¼¼ ¼¼≈J J1对于a¼ 1和b¼0： 5，方程的分子。（30）相同0对于所有整数m（sinc n0对于任何非零整数n）。因此，等式10的ISI表达式中的所有求和项都是（28）vanish除了那些分母为空的索引。发生8当2m 1 = 2升/升1，仅对m1（如果B0： 5）或仅m=1（情况b0： 5）。 当量，使用Eq. 在公式（29）中，ISI在这种情况下简化为二进制随机变量E s= 4。类似的论点适用于当r1，4时的情况。B0，0： 5。 这里，ISI求和的所有项都消失了除了m1和m1。因此，ISI降低到2三水平二项（三级）随机变量，pE sd1d-1=2。0我们绘制了1中给出当量（23）对于B1/40（即，ISI仅归因于FTN 这在图中示出。 二、类似地，对于1的情况（即，ISI仅由相位抖动引起）的情况在图3中描述。从这两个图中可以看出，峰度永远不会为零。峰度绝对值最大（=2），两个r 并且a接近1而b接近0.5（即，ISI接近二进制随机变量）。峰度绝对值在a处呈现局部最大值。0：5为r达到统一 1和b0.我们还计算并绘制了高斯CDF和ISI之间的均方误差图图4描绘了没有相位抖动的FTN的情况，而图5描绘了具有相位抖动的奈奎斯特信令的情况。 在图 4和5同意（2）和(3) 表明ISI随机变量见图4。作为r和a的函数的归一化高斯和FT生成的ISI（b 1/4 0）之间的CDF MSE。0.020.0150.0110.8个单位0.60.40.20.005010.5000.50.4100.210.80.6图五. 作为r和j b j的函数的归一化高斯和相位抖动生成的ISI（a1/41）之间的CDFMSE。可以接近（但不完全相等）高斯随机变量的值。特别是图图4示出了对于接近于零的b，ISI为：图二、仅 由FTN（b 1/4 0）引起的ISI峰度绝对值与r和a的关系。21.510.50‘‘more Gaussian” when0.7）。另一方面，对于较大的r和a值（大于0.5），ISI是“较少高斯”的类似地，图5示出了对于接近1的a，对于较小的r和b值，ISI更高斯，反之亦然。总之，高斯ISI假设对于小的a（小于1/3）、b（小于0.1）和r（小于0.25）的实际范围似乎相当有效。这一点将在下一节的BER模拟中进行定量说明。应该注意的是，FTN RRC [32]的初步工作集中在范围a0： 7，因为这导致最高SE，而不会发生退化在BER中（对应于Mazo的最小距离）。然而，最近的工作[2，3]将a推到更小的范围以寻求更高的SE（以检测器复杂度为代价）。r的较小范围是优选的，因为其导致较高的SE，而r的较小范围导致0.40.30.20.1010.80.60.400.2b的值通过使用精确的同步方案是合理的。在下文中，我们提出了与相同特殊情况下nI的二阶统计量相关的新的图三. 仅相位抖动引起的ISI峰度绝对值（a 1/4），作为r的函数和jbj。即具有RRC信令的单载波FTN。这些应部分用于分析确定，在所有系统0.50.30.4000.10.2峰度CDF MSE峰度6Z. Bahri/Engineering Science and Technology，an International Journal 20（2017）14301435我s（t我我;ÞðÞ..ð8>jjð ÞX- þð Þð Þω ð Þ“Þ¼jnj：wr;a;ba1-4-4pacosmetic2pbbenzosinaRr2¼Esð ð-ÞÞð-ÞÞ>p1tej2pbt;for t联系我们<为了评估等式的RHS中的求和（35）我们2对于1- t26 t6 t22aRpte-j2pbt¼>：266-1>。p：>个011.2参数，ISI特性渐近接近一个完全高斯RV只有当接近零。1.2定理2. 让 R2表示 的 方差 的 n I. 一个封闭的形式r2的表达式是根据r、a和b明确给出的，r2¼Es½wr;a;b-k2r;a;b];31其中，10.8kr;a;bsincabcosmopprab321-½2rab]20.60.4和wr;a;b具有以下两个表达式：对于b，任何实数，0.20ej2pbt;对于0 6t6t11m1-½ 2arm-b]>ej2pbt½pte-j2pbpt-1];ð41Þ使用Parseval傅立叶级数我们与之前的方法[33]类似地进行，除了周期性地重复复加权升余弦波形而不是矩形脉冲。考虑由下式给出的复升余弦脉冲p_t_p，1个;对于t6t1p11 1 2 3 4 1cost-t1p2t-1ej2pbt-1;对于tt 1 te j2pbt-1;对于1- t16 t6 1图7描绘了当混叠发生时在一个周期内的s t的幅度。事实证明，这种混叠并不影响由方程给出的傅立叶（38）.然而，使用Eq。（41），LHS当量（39）变更第2页不是第1页第1页。p-t-t12ar>其中，0a6 1，b是任意实数，t1/4a 1-r1 =2，并且t200>1436Z. Bahri/Engineering Science and Technology，an International Journal 20（2017）1430ðÞðÞ我¼Gpð÷ÞNo2ð Þ ð Þ ðÞ14½ap2Es1-4½ 1-cos2pb]p1-aaR-kr;a;b一4我O10-2Z1s t s0t dta.1r3racos 2psin. p1-a0vu1ð Þω ð Þ ¼-4- 4pbΣaR.ΣΣBER¼QB@uthNk2r;a;bR2CA;53Þð42 Þ使用等式（42）和（38）在方程中。（39）导致方程中的wr;a;b的第二个表达式。（34），从而建立theo-rem 2的结果。注意，等式中的无限求和。（33）有趣的是，它独立于B。最后，请注意，在Eqs。（33）和（34）在以下方面不一致：准确截断评估所需的术语数越大对于06r6 1。注意，对于固定的小b，k2r;a;b保持相当接近于1，并且容易看到BER随着r从0增加到1而单调减小这一改进的代价是-这意味着SE的下降同样，对于固定的r，BER随着jbj的增加而单调增加。最后，对于小a（小于0.5）、任意r和接近零的b，BER近似为. s1！No1Ra.这是因为它们在a= 0时发散。 因此，a越小，BER¼Q联系我们：1540ISI方差的估计相反，为了接近统一，只需要条件。滚降因子r对ISI方差收敛具有类似但不太明显的影响，而b没有影响或影响最小。下面的推论在分析上建立了前面的讨论（如图1所示）。 1）与ISI的高斯性有关。推论1. 对于使用RRC信令的单载波FTN系统，并且在所有系统参数上，ISI特性仅在α接近零时的极限情况下渐近地接近精确高斯RV的ISI特性。推论1的证明。 证明直接从定理1和2的结果，因为，参考方程。（33）和（34），只有当a接近零时，r2才趋于6. 仿真结果本节旨在通过计算机模拟，进一步阐明相对于ISI的常用高斯假设的准确性和有效性。公式中ISI方差的封闭形式表达式。（31）-（34）容易地得出以下近似的、但优雅紧凑的、封闭形式的BER表达式，用于使用RRC信令的单载波FTN的逐符号二进制检测器。假设BPSK信令（dn1独立于相等的概率），等式（1）中的接收样本值(4) 现在简化为y0¼d0kr;a;b时间：2019年10月20日上午10：50我们进一步假设nI是高斯随机变量。 由于nI与w^0 的 独立 性，方程中的最后两项。（50）可以组合成单个零均值高斯随机变量，其方差等于r2¼Es½wr;a;b-k2r;a;b]No=251对该二进制检测问题的简单误差分析导致以下BER表达式0@vutk2r;a;b1A2Eswr;a;b-kr;a;b对于固定的r，可以看出BER随着α单调增加，对于固定的a，BER随着r向1增加而单调减小。等式中的封闭形式BER表达式（52）进行了评估和绘图与所有四系统参数，即SNR Es=No、a、b和r。这在图1A和1B中示出。八比十一此外，为了估计使用30比特ISI范围的真实BER（没有高斯假设），进行了Monte Carlo模拟。模拟结果由图中的符号指示。作为一般观察，当参数离开第5节中讨论的近高斯参数范围时，模拟和分析BER值之间的差异增加。从Eq. 在公式（52）中，对于较大的SNR（小的No=Es），该偏差被进一步放大，从而导致ISI项变得占主导地位，因此使得高斯假设误差更加明显。一般情况下，分析和模拟的真实误码率之间的相对误差在20%以内，在实际范围内低至0.11小的a（小于1/3）、b（小于0.1）和r（小于0.25）具有低至中等的SNR（小于10 dB）。图图8描绘了所选a、b和r的BER与SNR的关系。在与前一节中的讨论一致，它显示了对于小的r和/或a值，分析和模拟BER结果之间的良好匹配。对于较大的r值和/或较大的a和/或b值，高斯假设变得不太有效（由分析和模拟真实BER之间的较大误差反映）。如上所述，可以看出，对于较大的SNR值，偏离高斯假设的偏差变得更图图9示出了针对选定的r、b和SNR的BER与a的关系。BER的极端敏感性与接近统一是清楚的。比如说，100十比一其中Qx是Marcum由方程式（32）-（34）。等式中的紧凑BER表达式（52）可以被认为是更复杂的基于网格的检测器[2]的闭合形式上界，众所周知，基于网格的检测器优于逐符号检测器。有些特殊情况值得指出。对于零ISI（a1/4和b1/4），可以从等式2看出（32）-（34）w_r;1;0_r和k_r;1;0_r都等于1，并且BER降低到10-30 2 4 6 8 10 1214SNR标准的Q=2Es=Nos（与r无关）。对于单独由相位抖动引起的ISI（a1/4），等式（1）中的BER （52）成为见图8。所选a、b和r的BER与SNR。符号表示模拟结果。r = 0.1;= 0.3;=零r = 1;≤ 0.5;=零r = 0.1;= 0.8;=0;r = 0.1;= 1;= 0.2BER2EsBER¼Qð52ÞZ. Bahri/Engineering Science and Technology，an International Journal 20（2017）14301437r= 0.1;= 0; SNR= 10 dBr= 1;= 0; SNR = 10 dBr= 0.2;= 0.2; SNR = 10 dB¼¼¼pJ J100 10010-110-110-210-210-310-310-410-410-510-60.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.910-510-600.050.10.150.2秒r = 0.1;= 1; SNR = 10 dBr= 1;= 1; SNR = 10 dBr= 0.1;= 0.8; SNR = 10 dB0.250.3 0.35 0.4 0.450.5见图9。BER与选定b、r和SNR的a。符号表示模拟结果。见图11。对于选定的a、r和SNR，BER与j b j。符号表示模拟结果。100当量公式（52）可以被认为是由更复杂的基于网格的序列解码器产生十比一10-210-310-40.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.91R7. 结论在这 项工作中 ，我们提 出了一个 非截断 符号间和 信道间干 扰（ISI/ICI）的统计特性，由于非正交时频信令（NOTFS）的分析研究。首先，我们正式认为，非截断ISI/ICI总是Platykurtative（亚高斯）一般的NOTFS。我们使用常用的根升余弦（RRC）信令的单载波NOTFS的特殊情况下，分析和数字说明了这一事实。ISI最接近高斯分布的系统参数范围是解析地和数值追究RRC。也就是说，这对应于a（FTN加速因子的倒数）、jbj（相位抖动）和r（滚降因子）的较小值的实际感兴趣范围的圆度见图10。BER与所选a、b和SNR的r的关系。符号表示模拟结果。对于r0： 1，数据速率仅7%的加速（对应于0：93）使BER降低近两个数量级，SNR10 dB。当r向1增加时，这种退化在很大程度上得到缓解，但代价是SE降低。实际上，这种急剧的BER下降可以通过更复杂的基于网格的序列检测器来缓解[2]。再一次，从从图9中可以看出，分析高斯BER和模拟真实值之间的误差随着r和/或a和/或b的值的增大而增大。这一事实也反映在图10中，图10显示了所选a、b和SNR的BER与r的关系。图11示出了针对所选择的a、r和SNR的BER与jbj的关系，并且进一步验证了针对a、r和b的较小值的高斯假设。应当注意的是，在图1和图2中，如图9和11所示，当a和b分别接近1和0时，分析和仿真BER值之间的相对误差接近0，从而导致ISI消失。在这种情况下，Eq.（52）正确接近标准的Q2Es=No，因此将分析值和模拟值之间的误差减小到几乎为零。总之，对于低到中等SNR，高斯假设被认为对于a和/或r和/或b的较小值是有效的。在这些条件下，解析的BER的封闭形式的表达，ISI/ICI也特别在处理其峰度时得到了处理。新的封闭形式的表达式也推导出ISI的变化，并部分用于分析建立，在所有的系统参数，ISI特性渐近接近一个完全高斯随机变量的FTN加速因子接近无穷大。此外，提供了使用RRC信令的逐符号二进制检测器的比特错误率（BER）的近似但优雅紧凑的封闭形式表达式，以通过仿真进一步阐明常用的高斯ISI消除的准确性和有效性。对于a61= 3，b60： 1和r61= 4的相同实际范围，对于低到中等SNR（小于10 dB），分析高斯BER表达式被发现是在20%的真实（非高斯）BER值。因此，通常使用的高斯假设似乎对这个实际范围有效。在这些条件下，建议的封闭形式的BER表达式可以被认为是相当准确的上限为更复杂的基于网格的序列检测器的BER。引用[1] G. Matz，H. Bolcskei，F. Hlawatsch，通信的时频基础：概念和工具，IEEE Sig。Proc. 麦格 30（6）（2013）87-96。[2] J.B. Anderson，F.鲁塞克河谷Owal，Faster than-Nyquist sig