虚拟现实非线性非均匀弹性材料的均匀化方法

虚拟现实智能硬件2021年12月3日第2引文：赵静，朱飞，徐立友，唐勇，李胜。非线性非均匀弹性材料的均匀化方法。虚拟现实智能硬件，2020，3（2）：156-170DOI：10.1016/j.vrih.2021.01.002·文章·非线性非均匀弹性材料JingZHAO1，2，FeiZHU3，4，LiiyouXU3，4，YongTANG1，2，ShenggLi3，4*1. 燕山大学信息科学与工程学院，河北秦皇岛0660042. 河北省计算机虚拟技术与系统集成重点实验室，河北秦皇岛0660043. 北京大学电子工程与计算机科学学院，北京1008714. 北京市虚拟仿真与可视化工程技术研究中心，北京100871*通讯作者，lisheng@pku.edu.cn投稿时间：2020年7月30日修订日期：2021年1月24日接受日期：2021年1月25日国家自然科学基金（61902340）和河北省教育厅科技攻关项目（QN2019157）资助。摘要背景快速模拟技术在计算机图形学中有着广泛的应用，特别是对于非线性非均匀弹性材料。均匀化理论是一个完美的匹配，以模拟非均匀的可变形物体与其粗糙的离散化，因为它揭示了如何提取信息在一个精细的规模，并执行有效的计算与少得多的自由度。现有的均匀化方法不适用于普遍存在的有限输入变形位移的非线性材料。方法本文提出了一种有效模拟非线性非均匀弹性材料的均匀化方法。我们的方法允许一个忠实的近似精细，非均匀非线性材料非常粗糙的离散化。模态分析提供了一个线性变形空间的基础和模态导数扩展空间的非线性政权，在此基础上，我们利用模态导数作为输入的特征变形均匀化。我们还提出了一个简单的弹性材料模型，是非线性和各向异性的均匀化材料。该模型能较好地反映材料变形的非线性。粗化模型的材料特性通过约束优化来求解，该约束优化最小化所有输入变形模式的应变能偏差的加权和。任意数量的基可以用作均匀化的输入，并且更大的权重被放置在更重要的低频模式上。结果实验结果表明，与现有的线性位移均匀化方法相比，该方法得到的均匀化材料性质更接近原始材料的非线性行为，且计算时间节省了几个数量级。结论非线性非均匀弹性材料的均匀化方法能够很好地捕捉原动力系统的非线性动力学行为。关键词物理模拟;均匀化理论;非均匀材料;模态基础2096-5796/©版权所有2021北京中科学报出版有限公司Elsevier B. V.代表KeAi Communization Co. Ltd.提供的出版服务。这是CC BY-NC-ND许可证下的开放获取文章（http：//creativecommons.org/licenses/by/4.0/）。www.vr-ih.comJing Zhao et al：非线性非均匀弹性材料的均匀化方法1571引言自从Terzopoulos等人关于弹性变形模型的开创性论文[1]以来，基于物理的可变形模拟在计算机图形学中变得流行，并取得了巨大的发展。尽管已经取得了进展，但大多数工作都集中在由单一均匀材料制成的物体上。这是因为具有这种简化的模拟方法更适用于交互式应用。然而，许多现实世界的物体是由异质材料组成的。使用现有技术模拟这样的复杂对象通常需要高分辨率的空间离散化来解决精细尺度的异质性。这一要求导致压倒性的计算成本，从而使交互式仿真不切实际。我们的目标是有效地模拟非均匀变形物体非常粗糙的离散化，同时有效地捕捉物理行为。均匀化理论[2]是这一目的的完美匹配，因为它准确地揭示了如何以精细的尺度提取信息以执行有效的计算。然而，均匀化理论在计算机图形学中的应用却出奇的少。据我们所知，Kharevych等人首先介绍了用于图形应用的均匀化方法[3]。从一组特征位移的势能的精确匹配，他们的方法实现了由非均匀线性弹性材料组成的可变形物体的粗略近似。粗化的材料属性允许实时模拟，捕获原始材料的正确动态行为。他们的方法仅限于线性弹性;因此，它不适用于普遍存在的非线性材料。在本文中，我们解决这个问题，并提出了一种新的均匀化方法的非线性非均匀弹性材料。我们采用了与Kharevych等人的方法相同的策略，通过匹配一组特征位移的势能来获得粗化的材料性质。与线性均匀化相比，非线性材料的均匀化提出了几个关键挑战。首先，非线性变形的空间明显大于无穷小线性变形的空间。其次，为了使均匀化后的材料表现出足够的各向异性和非线性，需要定义一个合适的各向异性非线性材料模型。最后，所选位移的势能的精确匹配要求方程的数量等于待求解的材料属性中的未知数的数量。这一要求对非线性均匀化来说过于严格，因为非线性材料具有更大的特征变形族，在均匀化过程中尽可能多地考虑这些变形是一个很好的做法。为了解决这些问题中的每一个，在本文中提出了各自的贡献。我们利用的想法，使用变形模式的模态分析作为典型的变形均匀化。虽然在以前的方法[4]中，模态基已经被广泛地用于简化模拟，但是使用模态基的固有特性进行均匀化是新的。非线性变形超出了线性模态基础的范围。我们利用Barbiberg和James[5]提出的模态导数技术构造了变形基，因此，非线性变形被基所覆盖。我们对该领域的第二个贡献是一个简单的各向异性非线性材料模型。在图形学中常用的各向同性圣维南-基尔霍夫模型的基础上，定义了它的各向异性扩张。这种各向异性材料模型被用于我们的粗略表示，并表示足够的非线性图形模拟。此外，与先前的方法不同，该方法用精确的158虚拟现实智能硬件2021年12月3日第2匹配的势能，我们制定的均匀化过程作为一个优化。最小化输入变形模式的应变能偏差的加权和。我们还考虑了变形模式的频率，并把更重要的低频模式的权重。利用这种优化策略，可以使用任意数量的基础作为输入数据，因此，可以克服对位移数量的限制。2相关工作对大量物理变形模拟方法的完整回顾超出了本文的范围，我们建议读者参考Nealen等人的出色调查。[6]的文件。在本节中，我们将重点介绍与我们的研究最接近的快速模拟技术和非均匀材料的模拟。2.1快速变形模拟快速仿真技术在计算机图形学中受到强烈青睐，因为实时和交互式帧速率对于视频游戏和虚拟手术等应用至关重要。许多策略已经被设计用于快速仿真。以更大的时间间隔运行模拟[7]是一种寻求通过使用更少的模拟步骤来降低整体计算成本的策略。其他方法[8- 10]利用线性材料模型的简单性，同时通过在应用材料模型之前将旋转从变形中分解出来，然后将其旋转回来，从而规避具有大变形的伪影。这些方法被称为刚度翘曲法或线性共旋法。多分辨率方法是直观的解决方案，可以自适应地细化模拟以实现更密集的变形，否则会使其粗糙化。均匀化方法就是这样一种方法;它利用低分辨率网格来动画化高分辨率网格的近似运动。均匀化方法的优点是它通过使用粗网格而不是细网格来提高模拟效率，这容易减少求解线性方程组所需的自由度（DOF）和维度。由于物体通常通过其表面相互作用，因此在模拟中减少DOF的另一种方法是仅在表面点处表达物理方程[11- 12]。然而，这样的方法通常限于小变形。在图形学中，域嵌入[13- 14]是一种广泛使用的技术，通过将高分辨率可视网格嵌入到粗糙的可变形模拟中来实现快速计算和详细渲染。模态降阶方法将可能的变形限制在低维子空间中以实现效率。使用一组变形基础构造缩减空间，通常通过刚度矩阵或经验模拟数据的特征值分析获得。在这两种策略中，使用刚度矩阵的特征分析或所谓的模态分析的方法更普遍。线性模态分析仅为刚度矩阵计算位置的小变形提供变形基础，因此不适用于大变形的模拟。已经提出了几种解决方案来解决这个问题。Choi和Ko利用刚度翘曲的思想进行简化模拟，并开发了一个程序来表达和更新子空间中变形的旋转分量[15]。Barbibrium和James推广了线性模态分析，并提出了一种增强的线性变形模式及其方向导数[5]。这些所谓的模态导数包含大量的非线性内容，足以描述实际中的大变形。模态约简的思想被随后的方法广泛用于降低计算复杂度[16- 19]。159Jing Zhao et al：非线性非均匀弹性材料的均匀化方法在这项研究中，我们利用模态基础的固有特性作为特征变形，并将其用于均匀化，而不是使用模态基础进行简化模拟。据我们所知，模态分析还没有被用于这一目的。2.2非均匀材料模拟由于材料结构的复杂性，在计算机图形学中对非均匀材料组成的可变形物体的模拟研究较少。Nesme等人提出用弹性张量的空间平均值近似立方网格上的非均匀刚度[20]。然而，这种简单的平均不能精确地粗化原始材料。在另一项工作中，Nesme等人采用了域嵌入技术并计算了粗糙单元的形状函数，并在预计算步骤中基于高分辨率力学分析考虑了单元中的不同材料[21]。他们还考虑了元素内部的空隙空间，并保留了元素复制的分支结构。不幸的是，他们的方法只适用于线性弹性。Bickel等人提出了一种数据驱动的方法来模拟非线性异质材料[22]。通过从示例变形中捕获的一组应力-应变关系，他们通过在运行时对关系进行非线性插值来对材料进行建模。由于捕获的数据仅限于使用单个接触式探头的简单变形，因此他们的方法无法准确捕获复杂场景中的材料行为。Faure及其同事引入了材料感知形状函数，可有效解决稀疏无网格蒙皮的非均匀刚度[23]。这些形状函数未能理想地解决复杂的三维变形，因为它们仅使用一个标量刚度值来计算形状函数。Kharevych等人创造性地采用了计算机图形学中的均匀化理论，并在非常粗糙的离散化上适当地近似非均匀材料，并具有数量级的加速[3]。他们的方法基于线性弹性，因此仅限于线性材料的微小变形。在本文中，我们已经解决了这些限制，使用非线性均匀化方法。Chen等人提出建立材料模型数据库，以避免模拟过程中材料参数的重复计算[24]。该方法只查询高分辨率网格对应的数据库中的粗分辨率材料信息。这种方法可以模拟更复杂的非线性材料，但忽略了单元之间的关系。同时，材料模型依赖于训练集和参数选择过程。在他们随后的研究中，他们提出了一种物质解决方案，考虑了不同分辨率的模拟过程中运动频率的不一致性和边界处理问题，取得了良好的模拟效果[25]。Chen等人提出用矩阵形函数代替传统的标量形函数来模拟非均质材料的非线性本构模型[26]。在预计算过程中，考虑了几何连续性和局部材料刚度信息的平衡。与Chen等人的先前方法[25]相比，该方法的优点在于不需要调整参数就可以获得非均匀材料的变形特性。在接下来的一年里，他们使用小波变换提出了一种支持局部特征并改进边界问题的形状函数[27]。但是，他们采用的是线性共转模型，对于非线性本构模型的模拟还有一定的扩展空间。在这项研究中，我们的目的是建立一个非线性和各向异性的材料模型，利用模态导数作为非线性输入位移，以产生一个更多样化的变形空间。3理由和概述在本节中，我们将简要概述我们的均匀化算法。为了保持一致性和清晰度，160虚拟现实智能硬件2021年12月3日第2M我们使用SOLID字符来表示精细离散化上的量，使用HOLLOW字符来表示它们的粗糙对应物。我们采用有限元离散化模拟，因此，我们的方法从一个细网格D与不同的材料属性，并获得了一个粗略的网格D的元素数量少得多的材料属性的近似。根据Kharevych等人的方法[3]，我们通过匹配一组特征变形的两个尺度之间的势能来计算粗材料参数。我们没有强制精确匹配，而是容忍了能量的一些偏差。我们将对这些好处的解释推迟到下一节，这里只描述方法。对于粗网格上的任何单元TP，细网格上的几个单元Tq因此，粗元素TP的势能应该近似地匹配势能之和在所有变形的精细元素TqW（TP）W（Tq）计算粗势能W（TP）需要在粗网格上定义适当的本构模型由于非均匀材料通常会导致各向异性行为，因此材料模型必须是各向异性的。为了表示均匀化的非线性材料，材料模型也需要是非线性的。在这项研究中，我们定义了一个简单的材料模型来实现这些目标。Kharevych等人使用在边界上受到线性牵引的材料变形作为输入位移。相比之下，我们采用了非线性模式的基础，以加强能量匹配。由于我们的均匀化过程考虑了典型的非线性变形，我们希望得到一般非线性变形的优美近似。给定精细网格上的位移场u，我们可以通过插值轻松地对其进行下采样，并获得粗糙网格上的位移场U。对于位于细网格域之外的粗网格边界节点，我们找到最接近的细单元并使用外推。分别使用u和U为了从每个粗网格的细网格中找到相应的单元，我们需要检测相交的四面体单元。为了建立这两种不同分辨率网格的能量等效性，我们必须知道每个精细单元与粗四面体网格的相交体积。我们简单地选择蒙特卡罗近似来求解每个四面体单元的相交体积。我们在粗元素中采样M个点，并确定相应的细元素数量元素 然后，粗元素中的每个细元素的相交体积是V细= NV粗，其中V表示四面体单元的体积。虽然简化会带来一些时间开销，但我们的材料求解过程是一个预先计算的过程，效率是可以接受的。4非线性均匀化我们的方法的强度是通过结合三个贡献：使用非线性变形模式，各向异性非线性材料模型，和基于优化的均匀化策略。我们现在详细介绍我们的工作。4.1非线性变形模式Kharevych等人的方法和我们的方法有着相同的基本思想，即对于一组特征变形，在两个尺度之间强制势能匹配，期望粗化的材料对于所有可能的变形都与原始的异质材料找到一组变形是很重要的161Jing Zhao et al：非线性非均匀弹性材料的均匀化方法它们足够典型地代表所有变形，也就是说，它们形成变形空间的基础。变形基的生成是一个困难的公开问题，特别是在一般强迫下的变形。Kharevych等人使用一组所谓的谐波位移作为均匀化的典型变形。这些位移计算通过求解一组静态边界值问题与线性表面牵引规定的诺依曼边界条件。最近的方法，使用模态分析来构建一个减少的变形空间的启发，我们利用了模态基础代表典型的变形从频率的角度来看。标准的线性模态基只能表示小变形，我们采用Barbiberg和James[5]提供的解，通过包含线性模态的方向导数构造了一组非线性变形模态。他们的论文详细描述了计算模态导数和用质量PCA生成低维变形基的过程。我们的贡献在于一个新的应用程序的模态分析均匀化。我们以均质杆模型为例来演示位移的差异（图1）。谐波位移仅由线性拉伸和剪切（上图）组成;因此，它们不编码非线性变形的信息，而我们的非线性变形模式（下图）包含大量的非线性。如图1所示的均质杆模型，顶行展示了Kharevych等人的方法的谐波位移，该方法仅由线性拉伸和剪切组成，底行通过使用模态基采用非线性变形模式，该模式包含大量的非线性。FIGURE1由Kharevychetal提供的共享空间。的方法[3]和我们的方法（botto m row）与一个酒吧模型，我们在实验中使用。我们的非线性位移与模态基础及其衍生物产生更大的变形比谐波位移与线性拉伸和剪切变形。4.2各向异性非线性材料模型如前所述，粗网格的材料模型需要是各向异性和非线性的，以便表示由于非均匀性和非线性引起的复杂行为。然而，文献中的各种材料模型，如流行的Neo-Hookean和Mooney-Rivlin模型，大多是各向同性的。在这里，我们已经定义了一个各向异性和非线性材料模型的基础上，简单的，但162虚拟现实智能硬件2021年12月3日第2=C广泛使用圣。维南-基尔霍夫模型圣维南-基尔霍夫材料，简称StVK，可能是最简单的材料模型。它推广了具有几何非线性的各向同性线弹性模型σ=λ（tr）I+ 2μ π ι，用格林应变E代替柯西应变ε。它的材料特性可用E与第二Piola-Kirchhoff应力S的关系表示为S=λ（trE）I+ 2μE。应力-应变关系是线性的，但非线性应变张量在位移和应力之间注入了足够的非线性，以用于计算机图形学。我们的各向异性材料模型利用了StVK模型在几何方面的简单性非线性，以及通过将应力和应变与秩4弹性张量C而不是两个标量相关联而增加的各向异性：S=C：E，其中：表示张量的双重收缩。该材料模型也可以被视为Kharevych等人使用的线性模型的扩展，但具有几何非线性。势能的密度计算为ε=S：E。因此，我们的均匀化算法也解决了弹性张量Cp 在粗网格的元素Tp几何非线性的纳入，均匀化过程工作良好，我们已经证明了在大变形下两个尺度之间的模拟比较。4.3基于优化的均匀化由于离散化引入的误差是不可避免的，因此不必强制每个粗单元和其对应的细单元之间的应变能精确相等。我们所能期望的最好结果是将两个尺度之间的偏差减到最小。此外，精确等价要求方程的数量等于待解材料属性中未知数的数量。在求解对称弹性张量C的情况下，输入位移的数量必须为6。六个位移可能足以描述典型的线性变形，但它不适用于大变形，因为变形空间要大得多。因此，我们将均匀化表示为关于弹性张量C的优化问题。我们进一步探讨了不同变形模式的重要性，并将更大的权重放在低频模式上。对于每个粗元素Tp，要最小化的目标是所有输入变形的势能偏差的加权和。每个变形模式的权重是使用与Barbibirth和James[5]相同的策略确定的，以在质量PCA期间选择基础。 考虑到弹性张量的物理性质，将C表示为可逆对称的6 × 6非负元素的矩阵因此，对于粗元素Tp的具有约束的优化为min∑r 1ωi（W（Ui）-∑不∈ D|W（u））2|W ( u))2我CPi= 12TqTqTp0|Tp|S. t.Tp （k，l）≥ 0，1 ≤k，l≤ 6不pT pdet（CTp）0其中r是输入变形模式的数量，并且ui和Ui分别是细网格和粗网格上的第i个运算符计算底层区域的体积第i个变形模式是线性模式或模式导数，并且权重ωi确定如下：不C不C163Jing Zhao et al：非线性非均匀弹性材料的均匀化方法λλ我λ1，如果u=λIjω =λjiλ21、 如果u =ΦJK其中λ是对应于线性变形模式的特征值，并且λ和Φ代表线性模式和模式导数。我们使用NLopt[28]提供的求解器来求解此优化，并且可以并行求解不同的粗元素以节省计算时间。4.4实现细节多分辨率网格生成。在我们的均匀化算法中，我们从高分辨率模型生成低分辨率仿真模型。我们准备了两种分辨率的网格作为输入数据。对于结构化模型，我们手动生成边界对齐网格或利用MeshLab软件简化精细表面网格，并通过重新网格化生成粗网格，以保持其质量，用于模拟过程中的数值计算。然后，我们生成了这两个网格的四面体网格。对于复杂的模型，使用网格简化操作和网格重划分方法很难保持模型的关键结构。图2显示了我们使用工厂作为模型的均质化程序设置的示例。植物模型的刚度分布使用彩色地图（左）可视化，我们的均匀化算法从高度详细的网格上的材料属性获得非常粗糙的网格上的材料属性。植物分为三个基本部分：根是最硬的，杨氏模量为5.0e6，叶是最软的部分，杨氏模量为1.0e6，茎的杨氏模量为5.0e5。图2植物材质颜色图和两种分辨率网格的生成。植物模型的刚度分布使用颜色图可视化（左）;我们的均匀化算法从高度详细的网格（中）上的材料属性获得非常粗糙的网格（右）上的材料属性。对于具有复杂结构的模型，我们利用体素化方法[5]获得具有两种分辨率的仿真网格的体积网格。然而，用这种方法，两个网格有一个边界协调问题。为了解决边界的不一致性，我们提出了一个简单的解决方案。我们生成体素化低分辨率网格的表面网格，并计算到高分辨率网格的有符号距离。然后，将低分辨率网格的顶点沿与距离场梯度相反的方向移动到高分辨率网格。经过调整后，这两种分辨率下的网格具有更高的边界一致性，可以满足我们的算法。最后，我们生成了两种分辨率的网格，如图2所示（高分辨率：中分辨率，低分辨率：右）。除了我们的简单方法之外，Stuart等人还提出了另一种来自高分辨率表面网格的更紧密的体积网格[29]。JK164虚拟现实智能硬件2021年12月3日第2有限元模拟为了验证我们的算法，我们使用Vega FEM库[30]以不同的分辨率运行模拟。由于高分辨率网格足够密集，我们假设每个细网格单元的材料模型是各向同性的。由于单元参数的不同，整体行为仍然是各向异性的。在非线性材料的高分辨率模拟中，我们对每个精细单元采用StVK模型，而我们的各向异性材料模型用于相应的粗略模拟。为了与Kharevych等人进行比较，的方法，我们运行模拟线性材料使用共旋转的方法与各向同性材料在高分辨率和各向异性材料在粗分辨率。所有模拟均采用具有Δ t = 0.001 s均匀时间步长的向后欧拉积分法。渲染。为了渲染的目的，我们在模拟网格中嵌入了具有高质量细节的表面网格。在模拟过程中，通过模拟网格位置的插值，使表面网格变形。对变形后的曲面网格进行离线绘制，生成本文所述的图形。5结果我们已经用几个精心设计的例子证明了我们方法的强大功能。高分辨率的材料模型是非线性的 ， 物 体 通 常 会 经 历 很 大 的 变 形 . 通 过 与Kharevych等人的方法的结果比较，我们表明，用 我 们 的 方 法 得 到 的 均 匀 化 材 料 性 质 比Kharevych等人的方法更好地逼近原始的非线性材料行为。的线性方法。所有示例的泊松比均为0.3。在图3中，我们用分层材料固定了一个非均匀弹性杆的顶端，并水平提升了它的底端。在抬起的端部被释放后，杆以大的拉伸和弯曲摆动。高分辨率和低分辨率模拟的并排比较表明，我们的均匀化材料更忠实于原始的异质材料。固定在顶部的非均匀分层杆在重力作用下摆动。蓝色区域（杨氏模量：2.0e6）比黄色区域（杨氏模量：5.0e5）更硬。图3横杆摆动模拟比较。使用我们的均匀化材料属性的粗模拟（第2行）与高分辨率非线性模拟（第1行）非常匹配，而使用Kharevych等人获得的结果的粗模拟。的方法（第4行）明显偏离精细尺度共旋模拟（第3行）。图4是经历非线性变形的非均匀可变形对象的另一示例。由九层弹性杆组成的弹性杆在扭转和拉伸的耦合作用下变形。较硬部分的杨氏模量为5.0e5（蓝色），较软部分的杨氏模量为1.0e5（黄色）。Kharevych等人的均质化模型。的方法未能解决这种非线性，并且粗略模拟表现出与精细模拟的显著差异。相比之下，粗模拟使用我们的结果是一致的高分辨率模拟。165Jing Zhao et al：非线性非均匀弹性材料的均匀化方法图4杆件扭转模拟比较。高分辨率模拟（左）和粗略模拟（右）的并排比较。 这是我们的方法的基础，而下面的内容来自K.的方法。由于更精确的均匀化，我们的方法实现了不同分辨率之间更好的一致性。图5示出了杨氏模量为3.5e6的T形结构，其中垂直方向是固定的，并且具有更高刚度（杨氏模量：5.0e7）的纤维结构在水平方向的不同方向上嵌入。复杂的T形模型在重力作用下变形。由于嵌入纤维的不同，两个水平分支表现出不同的材料特性。我们将我们的方法与Kharevych等人的方法进行了比较，不同的模拟帧如图5所示。图5 T型结构仿真对比。StVK材料模型和高分辨率网格（行1），我们的异质材料和低分辨率网格（行2），线性共旋转模型和高分辨率网格（行3），线性共旋转模型和Kharevycetal。的方法（r o w 4）。图6至图8展示了我们的方法与Kharevych等人的方法之间的比较。的方法的基础上定量分析的酒吧摆动，酒吧扭曲，T形的例子。在物体的表面网格上选取一个变形较大的顶点，用不同的分辨率和不同方法得到的材料属性，绘制该点在垂直方向上的位移曲线。对应于高分辨率和低分辨率模拟的变化曲线之间的偏差反映了均匀化算法的结果与参考值之间的误差。从图中可以看出，我们的方法对应的曲线之间的偏差比Kharevych方法对应的曲线之间的偏差小得多。166虚拟现实智能硬件2021年12月3日第2图6与挥杆示例对应的曲线，描述了表面网格上顶点随时间的垂直位移。我们的结果（左）表明，这两条曲线达到了更好的重合程度比Kharevychetal的结果（右）。图7曲线对应于杆扭曲示例，描述了时间的表面网格我们的结果（左）表明，这两条曲线达到了更好的重合程度比Kharevychetal的结果（右）。图8对应于T形示例的曲线，描述了表面网格上顶点随时间的垂直位移。我们的结果（左）表明，这两条曲线达到了更好的重合程度比Kharevychetal的结果（右）。表1列出了所呈现的示例的时序信息。计算在具有四核Intel Core i5，2.8 GHz CPU的PC上进行。均质化使用四个平行进行。167Jing Zhao et al：非线性非均匀弹性材料的均匀化方法表1结果总结例如EfEcth（min）tf（ms）tc（ms）加速比摆杆1305670219.0221.99.224.1x杆扭曲1305670221.0215.110.520.5x不4441358449.9846.38.1104.5xCPU核心，而模拟在单个核心上顺序运行。从表中可以看出，通过将均匀化作为预计算过程，我们在模拟中实现了数量级的加速。本文中提出的所有粗略模拟都以实时帧速率运行。列分别表示细网格和粗网格上的元素数量、均匀化时间（分钟）、高分辨率模拟、粗模拟的每个时间步长的模拟时间（毫秒）以及粗模拟与高分辨率模拟的加速比。6结论我们提出了一种均匀化方法，可以获得非线性非均匀材料的有效材料性质非常粗糙的离散。使用我们的均质材料进行的粗略模拟以可接受的精度捕获了原始材料行为，并节省了计算时间的数量级。从理论上讲，粗网格和细网格产生的几何表示和变形能量之间的关系，因此，所提出的方法是有效的微观结构和结构模型。然而，在实验过程中，我们发现本研究所采用的算法仍有一定的局限性。对于形状和结构复杂的模型，当变形复杂时，均匀化算法对低分辨率网格的变形效果能够反映材料的刚度分布。虽然运动趋势与使用高分辨率获得的运动趋势一致，但在帧比较方面与高分辨率情况仍存在明显差异。如图9所示，植物以初始变形摆动。该图显示了使用我们的均匀化算法获得的低分辨率网格（行2）和高分辨率网格（行1）的模拟效果之间的明显差异。设备模拟对象的刚度如图2（左1）所示。分析后发现，位移偏差可能是由于图9两种分辨率下异构物体模拟效果对比。使用我们提出的方法（第2行）获得的结果与高分辨率网格（第1行）的结果相比具有相似的运动趋势，但也存在一些差异。168虚拟现实智能硬件2021年12月3日第2有限元模拟和不同分辨率网格离散解引起的固有误差。因此，为了验证这种可能性，我们在植物模型的高分辨率和低分辨率网格中使用了相同的均匀材料，如图10所示。顶行显示高分辨率模拟，而底行显示低分辨率模拟。由于几何边界的不匹配和离散化引入的误差，即使两种分辨率的网格具有相同的参数，模拟结果仍然存在差异。为了消除不同离散网格引起的变形频率差异，[25]的作者提出了一种实用的方法。图10两种分辨率下均匀物体模拟效果比较。获得的结果与我们提出的方法（行2）相比，高分辨率网格（行1）具有类似的运动趋势，但也存在一些差异。我们的目标是通过使用非均匀材料的粗网格代替原始的高分辨率网格来提高模拟效率。我们的实验结果表明，我们的方法达到了这一目标，同时保持了类似的高分辨率模型在一定程度上的变形行为。因此，我们为每个实验创建了一个分辨率较低的粗网格，而不是测试粗网格的分辨率限制，以生成与原始高分辨率网格相似的模拟效果。在该方法中，我们考虑了相应的因素，如位移，体积和网格在预计算过程中。在弹性张量计算过程中，主要考虑了每个粗单元与其对应的细单元之间的能量等效关系。在今后的工作中，可以考虑将两个分辨率网格之间的关系所对应的局部应力场或相应顶点的位移作为约束条件。探索使用均匀化技术快速模拟经历拓扑变化的非均匀材料也将是有趣的。在拓扑结构发生变化的情况下，需要在运行时重新计算相应元素的材料属性。我们的优化为基础的均匀化策略是有效的，而还有很多工作要做，以重新均匀的本地元素的飞行，而不会危及模拟。竞合利益我们声明我们没有利益冲突。引用[1]张晓刚，张晓刚，张晓刚.弹性变形模型。计算机图形学，1987，21（4）：205169Jing 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