多尺度形状配准方法：基于函数映射的光滑壳

12265光滑壳：基于函数映射的多尺度形状配准慕尼黑工业大学丹尼尔·克雷默斯摘要我们提出了一种新的三维形状对应方法的基础上迭代对齐所谓的光滑壳。光滑壳定义了一系列由粗到细的形状近似，旨在与多尺度算法配合使用。其主要思想是首先对齐几何的粗略近似，然后添加越来越多的解，尾巴来完善对应关系。通过将输入的形状嵌入到一个内外积空间中，将经典的形状配准与功能映射相融合。此外，我们还利用基于代理的马尔可夫链蒙特卡罗初始化方法消除了内在对称性的歧义.我们的方法自然地处理各种类型的噪声，通常发生在真实的扫描，如非等距或不兼容的网格。最后，我们在几个数据集上展示了最先进的定量结果，并表明我们的管道比现实世界中的其他自动匹配方法产生更平滑，更逼真的结果。1. 介绍近年来，价格实惠的3D扫描设备的广泛选择导致了可用的3D形状和扫描数量的巨大增长。与合成形状相比，真实世界的扫描通常是嘈杂的，并且许多特性不能得到保证。例如，拓扑噪波可能会出现在自接触区域中，或者网格密度会因扫描条件而异。这些失真被证明对于最先进的形状对应方法是困难的[24，34]。许多传统的方法只关注（近）等距的情况下，明确定义的扩展，如图[28]，或学习在某些扰动下匹配不同类别的形状[18]。不幸的是，这需要训练数据和关于预期的变形和噪声的知识。一般来说，人们可以区分内在和外在的对应方法。内在方法只使用与嵌入无关的表面属性，例如Laplace-Beltrami算子。另一方面，外部方法直接使用图1：给定源（左）和目标（右）形状，我们提出了一个分层平滑过程来迭代对齐输入。首先，我们对齐非常粗略的近似，然后进行细化，直到我们获得原始输入的对应关系。除此之外，我们可以处理具有挑战性的类间配对，例如将狗与马匹配，并且我们的方法是全自动的，即。我们不使用任何额外的信息，如手动选择的界标。形状。虽然内在的方法是不变的大规模，近等距变形，外部对齐往往是更适合与拓扑变化或其他非等距变形的对。一个自然的步骤是将两者结合起来，以获得两个世界的最佳效果，但只有少数以前的方法在这个方向上冒险[11，13]。贡献在本文中，我们结合了内在和外在的信息，通过将输 入 形 状 嵌 入 到 产 品 空 间 的内 在 （ 光 谱 ） 和 外 在（xyz）坐标。然后，我们迭代地对齐两个输入形状在这个乘积空间中的光滑近似，我们称之为光滑壳。此外，我们提出了一个马尔可夫链蒙特卡罗初始化策略，以找到一个有意义的本地最小值和消除歧义的自相似性。总的来说，我们获得了一个强大的匹配管道，工程开箱即用的广泛范围的输入超出等距假设，并在存在各种类型的噪声。2. 相关工作2.1. 形状对应和配准形状对应在计算机视觉和图形学中有着广泛的应用。对最先进方法的调查[55，47，52，46]对现有方法进行了更广泛的概述，但在这里我们专注于与我们直接相关的工作。Functional Maps [38]论文提出了一个优雅的12266K形式主义来模拟形状对应。 其主要思想是将输入形状上的函数映射到输出形状上的函数，而不是点对点映射。 这允许在图1中进行紧凑的矩阵表示。低等级的基础。在过去的几年里，原始的框架已经扩展并应用于各种应用[45，29，42，1]。在这种情况下，一个主要的挑战是从功能图中提取逐点对应关系[44]。有几种方法扩展了原始的形式主义，但它们中的大多数都是计算量很大或对输入进行限制性假设[44，42，37]。另一种常见的方法是从函数映射中获得噪声对应并对其进行降噪[16，57]。然而，这仅在输入映射足够准确时才起作用。最后，上面列出的所有方法在存在内在自相似性的情况下都容易产生错误的匹配外部方法在3D嵌入空间中显式地变形和对齐输入形状。[36，31]在一个形状的表面上以低秩为基础用线性映射对变形进行建模。像我们的方法一样，[15]在计算变形场和对应之间交替，但体积保持约束限制了适用性。许多基于变形的方法需要昂贵的预处理来应用变形模型，例如变形图[49]，结构杆[3]或深度学习[18]。非刚性ICP方法迭代地对齐形状，但它们依赖于良好的初始化[27，4]。然而，对于许多应用程序，我们没有这样的先前对齐，并且通常没有简单的方法来获得它。存在精确的方法来配准某些类别的形状，例如， 人类[7，2]。 不幸的是，可以在[51]中找到一些方法。尽管骨架通常被设计为在来自相似类的不同形状之间容易地对齐，但大多数方法通常仅为每个形状定义单个唯一的骨架。这对于粗略匹配是有用的，但不允许表面对准的迭代细化。与我们的方法相似[12]基于基于拉普拉斯的压缩来提取骨架，但是目的在于得到唯一的曲线骨架。一些方法为每个形状创建一整类骨架[43]。我们的方法与前面提到的不同之处在于，我们没有为每个形状引入固定的骨架。相反，我们构建了一个整体类的近似与增加的细节水平。3. 背景两个输入形状X和Y之间的对应关系被定义为点对点映射P：X→Y。在这里，形状是一个在R3中嵌入的2D黎曼流形。我们使用三角形网格来离散曲面X和Y，记坐标矩阵为X∈RN ×3且Y∈RM ×3，其中N和M个顶点相互垂直.3.1. Laplace-Beltrami算子Laplace-Beltrami算子是标准欧氏拉普拉斯算子到流形域X的推广。计算解φk=λk φk得到Laplace-Beltrami特征函数{φk}k∈N，L2（X）的标准正交基这允许函数f∈L2（X）的谱表示：高度专业化并依赖于类的特定特征[33]，或者从数据中学习统计模型[41]。虽然这些方法对于它们内部的形状执行得非常好，ff=�P于我��k=1f，φkΣφ k。（一）类，它们通常不会推广到任意的例子。2.2. 形状逼近与简化在以前的工作中，对通过光顺简化网格的思想进行了深入的研究。[54]使用流形谐波进行平滑。In surfacedeformation modeling this is usually a two stage algorithm.首先，一个形状的平滑版本被变形，然后细节被添加回表面，参见[8]的概述。[19]和[23]是一些关于光滑形状建模的经典著作. [9]将该方法与微分坐标相结合。虽然我们的光滑壳与[54]等平滑技术有关，但上述方法都没有使用一系列近似。我们提出了一种新的hierarchi- cal形状平滑方法，特别适合于粗到细的匹配。形状骨架提供了对形状的粗略几何图形的低维描述。最近的一项调查显示，3D打印-根据极小极大原理，f∈L2（X）[39]是具有固定基大小K的光滑函数f的最优紧逼近。 为了计算三角网格上的Laplace-Beltrami算子，我们使用具有集中质量矩阵的余切离散化<$∈RN×N[40]，我们将其前K个特征向量记为ΦK=（φ 1，. - 是的- 是的，φ N）∈RN×K（类似地，对于Y，<$K∈RM×K）。3.2. 功能图函数映射框架[38]是解决对应关系P：X→Y的流行方法。在函数映射中，P被替换为函数到函数C的映射：L2（X）→L2（Y）。C是线性的，因此可以简洁地表示为矩阵C∈RK×K：C= KCΦ（二）为了计算一对输入形状的C，我们需要额外的信息来约束解决方案。给定成对的122676KK2τ τ�图2：我们的管道概述。（第1列）我们使用来自我们的马尔可夫链蒙特卡罗初始化算法的对齐X* 来（第2-4列）在每个水平K上，我们将两个形状嵌入到平滑的外部坐标X K∈ R3的K + 6维乘积空间中，ΦK∈ RK和外法线nX∈R3. 在这个空间中，我们可以通过计算外部变形来对齐XK和YKτ∈RK×3（XK）和函数映射C∈RK×K（ΦK ）. 为了使谱嵌入ΦK仅可视化，示出了三个维度。最后，使用对齐的X和YK，我们获得点对点匹配P：X→Y，其中在RK+6中的最近邻搜索。 我们重复该过程50次迭代，在K=6：500之间的对数尺度上进行平滑。每次迭代都使用上一次对齐进行初始化。在两个表面上的对应函数fi∈RN和gi∈RM，优化C的能量为：E（C）：=<$CΦ<$F−<$<$G<$2。（三）智慧对应由矩阵P∈{0，1}M×N，PT1=1。使用对齐的形状X，我们可以通过最小化以下能量来恢复P壮举K KFE对齐，3D（P）：= PX<$− Y <$2。（五）这里，F，G是矩阵，其列是特征函数fi，gi.这些特征的可能选择范围从逐点描述符或表面纹理到输入地标。另一个常见的假设是映射P是面积保持的，这导致正交函数映射CTC=I，参见[38，定理5.1]。3.3. 形状变形一种不同的方法是在嵌入空间中对齐曲面，而不是直接计算对应关系。 我们将X的变形形式表示为X，强制X轴与Y轴对齐。共同的选择模型是低秩基中的线性位移[36，31]，例如Laplace-Beltrami特征基：Xτ=X + ΦK τ。（四）τ∈RK×3是表征变形的位移系数。在离散情况下，点-F这相当于R3中的最近邻搜索。为了用这种方法得到有意义的对应，我们需要额外地正则化变形X。一种可能性是假设变形是在局部范围内尽可能地严格：����ΣEarap（τ）：=�R（x）X（x）−X（y）−XN（x）�X �（x）−X �（y）��2dydx.（六）N（x）表示x∈X的邻域，R：X→SO（3）描述了局部旋转，详情见[48]。4. 方法我们建议通过迭代对齐一系列由粗到细的近似值来计算形状对应关系，12268K输入表面X和Y。这是基于这样的想法，即在存在不一致的小尺度特征的情况下，两个形状的对齐可能最终处于不想要的局部最优。在许多情况下，X和Y的粗略结构，如末端的数量，是相似的，而精细的尺度细节可以不同，见图1。在匹配全局特征之后，可以使用局部特征来细化对准。我们使用的光滑壳作为粗略的形状近似在第4.1节中定义。第4.2节解释了我们如何结合外部和内部形状嵌入，第4.3节定义了我们完整的匹配算法。4.1. 光滑髋臼杯在本节中，我们提出了一种新的形状平滑算子SK，其产生与光谱表面重建类似的平滑形状[25]。相比之下，我们的操作者导致SK和SK+1之间更平滑的过渡，这使得它更适合于分层对齐。光谱重建光谱重建[25]通过将其坐标函数X投影到前K个Laplace-Beltrami特征函数上来平滑XT6T8T100X7X9X500图3：乍一看，谱重建T K和光滑壳层X K：= SK（X）之间没有显著差异。当K→ ∞时，它们都收敛于X，并且对于高指数K-50，它们是不可区分的。的关键的区别在于它们的上采样行为。而光滑壳从XK到XK+1平滑过渡，连续形状T K往往具有大位移，因此不太适合迭代对准方法。从SK到SK+1的位移是合理有界的。对于小的σ，过渡变得更平滑，而对于σ→ ∞，S形函数收敛到对应于谱反射的指示函数1{k≤K}TK：= TK（X）=�P于我��k=1φk φkΣX.（七）第特别地，我们可以证明以下平滑性S的结果：定理1. （S的过渡平滑度）这里，φk<$ φk表示φk与它的外积-这导致X在φk上的投影。以来本征函数按频率排序，这就产生了设X是具有坐标函数X∈L2的形状，则状态XK和XK+1的几何差以如下方式由上采样方差σ来界定从粗到细近似原始形状。�系我� �细节的层次由特征函数�SK+�1（X）−SK（X）�L2 −σK. 当K很小时，只重建了粗糙几何，而当K→∞时，TK收敛到原始X。��P于� K+1（X）�L≤|1 − e| = O(σ), σ → 0.（九）壳算子从方程逐步平滑。(7)用于分层形状匹配。在每次迭代中，我们增加K，并使用上一次迭代的对齐作为初始化。然而，在许多情况下，光谱重建的细化导致不期望的伪影。特别是从方程的前几个K投影。(7)造成重建之间的巨大差异这使得上一次迭代的对齐对下一步的用处不大我们引入shell操作符SK来解决这个问题：我们在附录B中提供了一个证明。图3给出了实际意义的说明，表1给出了光谱重建的定量比较。4.2. 内在-外在嵌入内在方法和外在方法通常被描述为对立的观点，尽管有一些值得注意的例外[11，13]，但只有少数方法试图将它们结合起来。我们的变形模型结合了内在和外在空间的形状对齐。Functional Maps基于关于光谱坐标ΦK∈的刚性ICP对准XK：= SK（X）：=Σ∞k=11�Σ1+expσ（k−K）�Σφ k φ kX.在K维谱域中，X的RN × K 和Y 的R M×K∈RM×K.就像光谱重建一样，（八）平滑X，使用ΦKC<$K.在φk但是，谱坐标在一定的K，我们引入了一个渐进的截断与S形权重。如果k=K，这些值接近1，当k=K时，这些值衰减为0。这保证了另一方面，外部方法通常如等式（1）中所述对准3维几何形状。（四）：=X K+ΦK τX1226920KKKK|K|KKFKK图4：（左）MCMC初始化方法的概览。 我们对潜在的初始对准τprop∈R6×3进行采样，并使用替代运行对其进行评级（见第5节）。基于当前替代的对准质量，每个提议τ prop被分配标记E（Surr（τ prop））> 0。 在所示的示例中，最佳目标是E = 1。0614.第0614章这件事直观显示X轴和Y轴20的最紧密对齐。（右）使用所有τ prop的多维缩放的2D嵌入一个初始化。目标值小的样本有大的黄色圆圈，大目标对应小，蓝色圆圈。显然，在最佳（黄色）圆圈周围有一个大的集群，这表明我们的算法能够以高置信度确定最佳初始化。我们结合内在和外在的对齐，以获得两者的优点。为此，我们将输入X和Y嵌入内在（谱坐标ΦK）和外在（平滑笛卡尔坐标XK和X的外法线nX）坐标的乘积空间中：特别地，我们首先固定对应关系P并优化对齐（C，τ），然后反之亦然。这是内在[38]和外在[31，32，36]匹配方法的常用方法。我们的整体匹配算法如下：X：=�Φ，XK，nX∈RN×（K+6）.（10a）算法2. （分级匹配）�YK：=K，YK，nY∈RM ×（K+6）.（10b）1. 输入：X，Y2. 对于k ∈ {0，. - 是的- 是的 、|K|− 1}：使用法线使嵌入更具描述性，因为它们传达了关于每个点的内外方向的信息。使用函数图C和外部变形τ（参见等式(4))现在产生变形嵌入X：2.1 Pk+1：=arg minPmn∈{0，1}，PT1=12.2 （τk+1，Ck+1）：=arg minτ，CT C= I3.输出：P| K|，X.E（P，Ck，τ k）.E（Pk+1，C，τ）.X：=X�ΦKC†，XK+ΦKΣτ，nX∈RN×（K+6）.（十一）优化问题E的分解导致更易处理的子问题。对于P，这是最近邻搜索，对于C，这是一个Procrustes问题，对于τ a，nK是XK+ΦKτ的法线下一节将详细介绍如何计算C和τ。4.3. 分层匹配把所有东西放在一起，我们可以定义一个具有以下能量的分层对应算法：非线性最小二乘问题前两个问题可以用封闭形式求解，后一个问题则采用高斯-牛顿优化。 我们的方法现在反复解决这些最优-在对数尺度Kinit= 6和Kmax=500之间，具有递增细节水平K ∈ K的壳的Mization问题。 见图2的可视化算法-E（P，C，τ）：=<$PX<$-YK2+Rithm 2.λfeatEfeat（C）+λarapEarap（τ）。（十二）正则化项Efeat和Earap定义在等式中。（3）和方程（6）分别。我曾以《易经》和《易经》为题，分别作《易经》和《易经》。为了最小化能量E，我们选择交替优化策略。在K122705. 基于代理的马尔可夫链蒙特卡罗抽样自相似性对于现有技术的形状对应方法仍然是一个具有挑战性的问题，并且许多人在没有适当初始化的情况下努力区分它们[56，17，1227135页]。即使对于人类来说，在没有任何背景的情况下也很难区分动物的腿/手臂。换句话说，我们的能量来自Eq。(12)是高度非凸的，具有许多局部最小值。不幸的是，没有明显的方法来计算所有类别的形状的有意义的初始对齐。我们提出了一种间接的方法，这使用马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）抽样。这种方法是基于有效地探索初始姿势的空间，而不是被动地选择一个。 我们给位移参数τ∈RKinit×3分配一个概率分布，并从中取样分布 特别是，我们将τ的先验设置为标准，标准正态分布N（0，I）和与目标值E成正比的负对数似然。 通过设计，这产生具有高目标值E的样本τ。每个τ根据来自等式2的目标函数E进行排序。(12)并且最低能量结果用于初始化整个流水线。为了评估E，我们运行一个完整管道的低成本版本 ， 一 个 代 理 运 行 ， Kmax=20 ， 没 有 正 则 化 器λfeat， λarap：=0，输入形状的下采样版本为1000个顶点。 我们评估Nprop= 100个不同的提议τ prop。这些可以并行运行，平均运行时间为0。每个代理人46秒有关此策略的可视化，请参见图4，有关MCMC算法的伪代码以及补充材料中的实现，请参见附录A6. 实验我们将我们的管道应用于各种具有挑战性的匹配任务，使用两个指标来衡量匹配的质量。第一个是准确度，定义为到地面真实匹配的测地线距离，参见第6.1节。第二个是对应P的平滑度，我们使用三角形的共形变形来量化，见图6：FAUST [6]数据集的真实扫描匹配示例。形状具有非常高的分辨率（200k顶点），并包含扫描噪声。FAUST的课堂挑战由（a）不同的人组成，（b）受到拓扑变化的影响，以及（c）极端程度噪音和噪音。我们像[18]一样将模板（左）与每个目标匹配。这里，对应关系被颜色编码，使得匹配点具有相同的颜色。第6.2节。为了表明我们的方法可以开箱即用，我们对所有实验使用相同的参数集，并且除了输入X和Y之外不需要额外的信息。有关更多详细信息，请参见文档材料中的实现。此外，我们在第6.3节中进行了消融研究，并在附录C中进行了运行时分析，以进一步研究我们的方法。最后，在附录中有更多的匹配和风格转换的定性例子。6.1. 形状对应我们根据普林斯顿基准协议[22]评估我们的方法的匹配精度。多个数据集。给定地面实况匹配（x，y），计算的匹配（x，y）的误差由测地线偏差给出托斯卡1花葶1TOPKIDS1SHRECCONN10的情况。80的情况。80的情况。80的情况。80的情况。60的情况。60的情况。60的情况。60的情况。40的情况。40的情况。40的情况。40的情况。2000的情况。02 0. 04 0.06 0 080 1相对测地误差0的情况。2000的情况。02 0. 04 0.06 0 080 1相对测地误差0的情况。2000。10. 2相对测地误差0的情况。2000。10. 2相对测地误差图5：我们对四个数据集的匹配精度与其他流行的全自动形状对应方法的比较。有关数据集的更多详细信息，请参见第6.1节。（一）（b）第（1）款（c）第（1）款BCICP [42][35]第三十五话[56]第56话免费WiFi [38]BIM [22]我们%对应性12272图7：使用我们的方法进行纹理转移的示例，用于挑战类间示例。在源形状（马）上定义的纹理被转移到两个单独的目标形状（狗和人）。y和y之间的比值由Y的直径归一化：dgeo（y，y）对于3D-CODED（*）是指无监督版本。引人注目的观察是，我们的方法是与国家的最先进的水平，而不专门对类的人的形状。我们的方法是这里列出的唯一一种方 法 ， 它 不 对 人 类 形 状 进 行 训 练 （ 3D-CODED ，FMNet），也不对人类进行强有力的建模假设（StitchedPuppet（SP），LBS-AE，FARM）。我们没有专门为这个挑战调整参数。6.2. 贴图平滑度当将信息从表面X传递到Y时，具有良好精度的地图仍然可以产生伪影，因为小尺度噪声通常不会对测地线匹配误差产生严重影响（13）。但是，这种行为对于网格化、纹理或法线贴图传输等应用程序是禁止的，参见图7。变形后每个三角形的共形变形度量了（x）= �面积（Y）（十三）匹配[21，Eq.（3）]。这允许量化映射P的平滑度。托斯卡，规模，TOPKIDS，SHRECCONN2数据集包含具有等距对的合成形状，TOSCA [10]包含76个人类和动物的形状，SCAPE [5]包含同一个人的72个姿势。TOP- KIDS [24]包含了25个人类儿童的自我交互姿势。这些形状也是合成的，但来自真实扫描的拓扑变化是通过自接触区域的合并网格来模拟的。SHREC模 板 大 小 的 形 状 （ N≤5000 个 顶 点 ） 到 实 际 扫 描（N >200K），以及在不同区域中变化的顶点密度。我们在这些数据集上比较我们的匹配精度其他全自动匹配方法，见图5。浮士德FAUST [6]数据集包含300个实际扫描各种姿势的不同人的照片，见图6。除了具有不兼容网格的高分辨率N=200K之外，形状是嘈杂的和高度非等距的。此外，由于自接触部件，存在具有拓扑变化的各种姿势。为了解决这个问题，我们不直接计算给定形状对的对应关系，而是像3D-CODED [18]，FARM [33]和LBS-AE [26]一样，使用[30]中的中间模板来计算两次扫描的对应关系。这使得我们的方法能够分离拓扑变化并处理噪声几何，否则尽可能刚性的假设会导致错误的变形。在faust.is.tue.mpg.de网站上报告的FAUST [6]类间挑战的最佳方法的准确度（cm）为：方法三维编码SP我们LBS农场FMNet误差2.878（4.883磅）3.1263.9294.0794.1234.826图8显示了我们的方法在SCAPE数据集上的共形三角形失真。值得注意的是，用我们的方法获得的变形甚至比[5]中提供的地面实况更平滑。 原因在于作者构建这一基本事实的方式。为了为了转移网格，他们使用经典的非刚性配准算法[20]来配准规范姿势to 71 noisy嘈杂scans扫描of a person人.这种方法需要150个标记来获得忠实的对齐，其中一些是手工的。选定.主要的问题是使标记尽可能紧密地对齐。然而，在实践中，标记没有被完美地放置，并且这些小的偏差导致扭曲的三角形。相比之下，我们在没有任何标记的情况下对齐模板，同时明确使用ARAP惩罚项。这显然导致更平滑的变形，并且被扭曲的少数三角形通常不是随机噪声的伪影，而是在有意义的地方，如图8中的人的腋窝或腹部6.3. 消融研究我们在表1中的消融研究中评估了我们方法的不同组分的效果。主要的见解是，我们的方法的不同子部分之间存在复杂的相互作用，如果删除任何部分，准确性就会显着下降。特别是MCMC初始化策略至关重要。如果没有它，我们基于变形的方法非常容易陷入次优的局部最小值，导致超过83%的失败率。值得注意的是，即使我们的刚性初始化策略（见附录A的结尾）被随机刚性姿势取代，失败率也只有38-50%左右。 在许多情况下，我们的MCMC算法能够找到正确的姿势，即使在输入的大尺度旋转位移的存在下。12273Kernel matching Ours Ground truth Ours核匹配10的情况。80的情况。60的情况。40的情况。2花葶000。五十一5 2保形畸变因子图8：使用三角形的保形变形在SCAPE数据集上测量的对应平滑度。（左）定性比较-红色三角形扭曲，而白色三角形保持角度。我们的变形网格显示了最有意义的、无伪影的结果。此外，我们提供了一个纹理转移的例子来证明我们的变形网格（Ours）是最有用的。（右）数据集中所有71对的累积失真 There are two possibilities to将X的网格转换为参考姿态Y。我们要么直接使用变形的几何体X（我们的X），要么将其捕捉到使用映射P：X→Y（Ours）后的表面Y对齐。前者只可能用于我们的方法，因为它是这里唯一计算变形的方法，而不仅仅是对应关系。更多详情见第6.2节。花葶我们λfeat= 0λarap= 0Extr. 只内部只无法线不含MCMC随机刚性光谱反射Avg. 误差0.00880.02110.01470.03440.01210.01150.05680.11630.0139故障率00.26760.02820.76060.22540.01410.83100.49300.0282Avg. 失真0.12870.11710.16040.13220.15390.13100.25940.20550.1305托斯卡我们λfeat= 0λarap= 0Extr. 只内部只无法线不含MCMC随机刚性光谱反射Avg. 误差0.00560.00750.00660.04410.02050.00760.10390.06940.0098故障率00.20830.08330.75000.40280.06940.86110.38890.1111Avg. 失真0.16540.16410.19260.17100.22390.17160.34850.28290.1666表1：TOSCA和SCAPE的消融研究。我们关闭该方法的某些部分或用替代方法来评估其必要性，并比较每种设置的平均测地误差（%），失败率和平均保形失真。失败率是指测地线误差比（我们的）高两倍的对数（%）。λ feat，λ arap=0关闭正则化器，Extr./只有内部，w/o法线删除嵌入的一部分（见等式2）。(10))，w/o MCMC移除初始化，随机刚性用随机刚性姿态替换我们的刚性对准策略，并且谱rec.用光谱重建代替光滑壳（见等式（七））。主要的见解是，当其中一个组件被移除时，精度就会降低。保形失真是相当稳定的，除非当很大一部分结果完全被破坏时（例如，w/o MCMC）或尽可能刚性的正则化器被移除。7. 结论We have presented a novel approach to shape corre-spondence that combines geometric and spectral alignmentby embedding the input shapes into an extrinsic-intrinsicproduct space.我们的方法引入光滑壳作为一个粗略到精细的形状近似与最小的几何尝试迭代之间的变化。这对于神经外科手术是有价值的。此外，我们解决了自相似性的问题，从一个有效的代理基于马尔可夫链蒙特卡罗方法，其中的变形能量是用来找到最佳的初始化。最后，我们的方法在建立的等距数据集以及两个专注于特定噪声的数据集（即不同的网格和拓扑）我们[56]第56话BCICP [42][35]第三十五[5]∗我们12274变化在FAUST实扫描跨班挑战赛中，我们与最先进的水平不相上下，尽管我们没有专门为此进行训练。所有的结果都是用同一组参数得到的，这显示了很大的通用性。确认我们要感谢Emanuele Rodola的有益讨论和Jing Ren的 帮 助 运 行 ZoomOut 实 验 。 我 们 衷 心 感 谢 ERCConsolidator Grant“3D整合”的支持引用[1] 细分曲面之间的层次函数映射计算机图形论坛，35（5）：5512275[2] 各向异性变形下的非刚性配准计算机辅助几何设计，71：142[3] Alhashim ， Kai Xu ， Yixin Zhuang ， Junjie Cao ，Patricio Simari，and Hao Zhang.变形驱动的变拓扑3d形状对应。ACM事务处理图表，34（6）：236：1-236：13，Oct. 2015年。[4] Brian Amberg，Sami Romdhani，and Thomas Vetter.最优步长非刚性icp曲面配准算法。Proc. 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